학업 선택 반향(SRC)

세특 탐구 주제 시리즈 #6 · 고등학교 수학으로 생활 속 궁금증을 직접 계산해 보는 시리즈입니다. 이번 주제는 대수의 수열의 귀납적 정의입니다.

토끼 한 쌍이 해마다 새끼를 낳아 수가 1.5배씩 늘어난다면, 몇십 년 뒤에는 지구가 토끼로 덮이겠죠. 하지만 실제로는 그런 일이 일어나지 않습니다. 먹이와 공간이 한정되어 있기 때문입니다. 이번 글에서는 연못에 사는 붕어의 수를 한 해씩 직접 계산하면서, 생물의 수가 늘다가 멈추는 로지스틱 성장을 고등학교 수열로 설명해 보겠습니다.

주요단어: 로지스틱 성장, 환경수용력, 개체수 증가, 수열의 귀납적 정의, 등비수열, S자 곡선, 생활 속 수학, 대수, 고등학교, 주제탐구

① 전제조건: 자원은 한정되어 있다

출발점은 단순합니다. 먹이와 공간에는 한계가 있습니다. 한 연못이 먹여 살릴 수 있는 붕어의 수에는 최대치가 있고, 이를 환경수용력이라고 합니다. 이 글에서는 다음 조건으로 계산합니다.

• 처음 붕어 수: 100마리
• 환경수용력: 1,000마리
• 자원이 넉넉할 때의 1년 성장률: 50% (r = 0.5)

② 시작하기 전에: 수열의 귀납적 정의

이 글의 계산은 "앞의 값으로 다음 값을 정하는" 방식으로 진행됩니다. 고등학교 대수에서 배우는 수열의 귀납적 정의를 간단한 예로 먼저 정리해 두겠습니다.

수열의 귀납적 정의: 다음 값을 만드는 규칙

수열을 "첫째항"과 "앞의 항으로 다음 항을 만드는 규칙"으로 정하는 방법입니다.

a₁ = 1,   a_n+1 = a_n + 2

첫째항이 1이고, 다음 항은 앞의 항에 2를 더해서 만듭니다. 그러면 a₂ = 1 + 2 = 3, a₃ = 3 + 2 = 5, a₄ = 5 + 2 = 7 … 처럼 홀수 1, 3, 5, 7, … 이 차례로 나옵니다. 이 글의 붕어 수 계산도 바로 이 방식입니다.

정리하면 귀납적 정의는 "첫째항 + 다음 항을 만드는 규칙"만 있으면 수열 전체를 하나씩 차례로 만들어 낼 수 있는 방법입니다. 이 글에서는 이 방법으로 붕어 수를 한 해씩 계산합니다.

③ 자원이 무한하다면: 등비수열

먼저 전제조건을 무시하고, 붕어가 해마다 50%씩 늘어난다고 해 봅시다. 해마다 1.5를 곱하므로 공비 1.5인 등비수열입니다.

1년 뒤: 100 × 1.5 = 150마리
2년 뒤: 150 × 1.5 = 225마리
3년 뒤: 225 × 1.5 = 337.5마리
n년 뒤: 100 × 1.5ⁿ 마리

이대로라면 6년 뒤 약 1,139마리로 환경수용력을 넘고, 10년 뒤에는 100 × 1.5¹⁰ ≈ 5,767마리가 됩니다. 1,000마리밖에 살 수 없는 연못에서는 불가능한 숫자입니다.

④ 빈자리만큼만 늘어난다: 로지스틱 성장의 식

현실에서는 연못이 붐빌수록 먹이가 부족해 덜 늘어납니다. 이를 "빈자리 비율"로 나타내 봅시다.

• 붕어가 100마리면 1,000마리 중 100마리가 찼으므로 빈자리 비율은 1 − 100/1000 = 0.9
• 붕어가 500마리면 빈자리 비율은 1 − 500/1000 = 0.5
• 붕어가 1,000마리면 빈자리 비율은 0, 더 늘어날 수 없음

그래서 한 해 동안 늘어나는 수를 "원래 성장 × 빈자리 비율"로 정합니다. n년 뒤 붕어 수를 a_n이라 하면

a₀ = 100,   a_n+1 = a_n + 0.5 × a_n × (1 − a_n ÷ 1000)

처음 보면 복잡해 보이지만, 식을 세 조각으로 나누어 읽으면 어렵지 않습니다.

즉 이 식은 "내년 수 = 올해 수 + (넉넉할 때 늘어날 수) × (빈자리 비율)"을 기호로 쓴 것입니다. 빈자리 비율이 일종의 "브레이크" 역할을 합니다.

이 브레이크가 어떻게 작동하는지 몇 가지 경우로 확인해 봅시다.

• 브레이크가 없다면: 빈자리 비율을 빼면 a_n+1 = a_n + 0.5 × a_n = 1.5 × a_n 이 됩니다. 이것이 바로 ③의 공비 1.5인 등비수열입니다. 로지스틱 성장은 등비수열에 브레이크를 단 것이라고 할 수 있습니다.
• 붕어가 적을 때 (100마리): 빈자리 비율 0.9로 브레이크가 거의 걸리지 않아, 45마리가 늘어납니다. 브레이크가 없을 때(50마리)와 거의 같습니다.
• 붕어가 꽉 찼을 때 (1,000마리): 빈자리 비율이 1 − 1000 ÷ 1000 = 0 이므로 늘어나는 수는 0.5 × 1000 × 0 = 0. 내년에도 1,000마리 그대로입니다.
• 붕어가 너무 많을 때 (1,100마리): 빈자리 비율이 1 − 1100 ÷ 1000 = −0.1 로 음수가 됩니다. 늘어나는 수는 0.5 × 1100 × (−0.1) = −55 이므로 내년에는 1,100 − 55 = 1,045마리로 줄어듭니다. 먹이가 모자라 일부가 살아남지 못하는 상황을 식이 스스로 표현합니다.

이 글의 숫자 0.5와 1000을 일반적인 문자로 바꾸면, 성장률 r과 환경수용력 K에 대한 식이 됩니다.

a_n+1 = a_n + r × a_n × (1 − a_n ÷ K)

이렇게 다음 해의 값을 이전 해의 값으로 정하는 방식이 바로 고등학교 대수에서 배우는 수열의 귀납적 정의입니다. 첫째항 a₀ = 100만 주어지면 a₁, a₂, a₃, … 을 차례로 모두 구할 수 있습니다.

⑤ 한 해씩 직접 계산하기

1. 1년 뒤: 늘어나는 수 = 0.5 × 100 × (1 − 0.1) = 0.5 × 100 × 0.9 = 45 → a₁ = 100 + 45 = 145마리
2. 2년 뒤: 빈자리 비율 1 − 0.145 = 0.855, 늘어나는 수 = 0.5 × 145 × 0.855 ≈ 62.0 → a₂ ≈ 207.0마리
3. 3년 뒤: 빈자리 비율 1 − 0.207 = 0.793, 늘어나는 수 = 0.5 × 207.0 × 0.793 ≈ 82.1 → a₃ ≈ 289.1마리

같은 계산을 이어 가면 다음과 같습니다. (소수 첫째 자리까지)

처음 2~3년은 두 수열이 거의 비슷합니다. 붕어가 적을 때는 빈자리 비율이 1에 가까워 사실상 1.5배씩 늘기 때문입니다. 하지만 붕어가 많아질수록 차이가 벌어지고, 로지스틱 성장은 1,000마리에 점점 가까이 다가가며 거의 멈춥니다. 그래프가 영어 S자처럼 생겨서 S자 곡선이라고도 부릅니다.

⑥ 언제 가장 많이 늘어날까? 정답은 절반인 500마리

표의 "그해 늘어난 수"를 보면 45 → 62 → 82 → 103 → 119 → 125 → 116 → 93 … 으로, 늘어난 수가 커졌다가 다시 작아집니다. 가장 많이 늘어난 해는 시작 수가 약 511마리였던 해입니다.

왜 그럴까요? 붕어가 x마리일 때 한 해에 늘어나는 수는 0.5 × x × (1 − x ÷ 1000) 입니다. 몇 가지 값을 넣어 봅시다.

100과 900, 300과 700에서 늘어나는 수가 똑같습니다. 이 값은 x에 대한 이차식 0.5x − 0.0005x² 이고, 그래프가 x = 500을 축으로 하는 위로 볼록한 포물선이기 때문입니다. 붕어가 적으면 새끼를 낳을 어미가 적고, 너무 많으면 빈자리가 적어서 덜 늘어납니다. 그 균형이 가장 좋은 지점이 환경수용력의 절반입니다.

이 사실은 실제로도 쓰입니다. 물고기를 잡는 어업에서는 물고기 수를 환경수용력의 절반 정도로 유지하면 해마다 가장 많이 잡으면서도 개체 수를 지킬 수 있다는 생각을 바탕으로 잡는 양을 정하기도 합니다.

⑦ 성장률이 크면 이상한 일이 생긴다

성장률 r을 0.5보다 크게 바꿔 같은 식으로 계산하면 놀라운 결과가 나옵니다.

• r = 1.8: 1년 뒤 100 + 1.8 × 100 × 0.9 = 262, 2년 뒤 262 + 1.8 × 262 × 0.738 ≈ 610.0, 3년 뒤 610 + 1.8 × 610 × 0.39 ≈ 1,038.2. 환경수용력을 넘었다가 다시 줄었다 늘었다 하면서 1,000에 자리 잡습니다.
• r = 2.3: 몇 년 뒤부터 약 688마리와 1,182마리를 해마다 번갈아 오갑니다. 1,182마리인 해는 너무 붐벼서 다음 해에 크게 줄고, 688마리인 해는 여유가 있어 다시 크게 늡니다.
• r = 2.8: 250, 775, 1,263, 333, 955 … 처럼 규칙을 찾기 어려울 만큼 요동칩니다. 이렇게 단순한 식에서 예측하기 어려운 움직임이 나오는 현상을 혼돈(카오스)이라고 합니다.

식은 하나인데 r 값 하나에 따라 "부드럽게 멈춤 → 출렁이며 멈춤 → 두 값 반복 → 혼돈"으로 성격이 완전히 바뀝니다. 직접 계산해 보면 수열의 귀납적 정의가 얼마나 다양한 모습을 만들 수 있는지 느낄 수 있습니다.

⑧ 이 주제로 탐구보고서를 쓴다면

1. 탐구 질문과 가설: "생물의 수는 왜 등비수열처럼 끝없이 늘지 않을까?" → 가설: 환경수용력이 있으면 늘어나는 속도가 줄어 일정한 수에 가까워진다.
2. 자료 수집과 계산: 처음 수, 성장률, 환경수용력을 정하고 a_n+1 = a_n + r·a_n(1 − a_n/K)을 엑셀에 입력해 20년치를 계산한다. 생명과학 시간에 효모나 콩나물 기르기 같은 간단한 관찰 자료가 있다면 실제 값과 비교해도 좋다.
3. 그래프: 등비수열과 로지스틱 성장을 한 그래프에 그리고, 해마다 늘어난 수를 막대그래프로 그려 최대가 되는 지점을 찾는다.
4. 결론과 한계: "환경수용력의 절반에서 가장 많이 늘어난다"처럼 수치로 결론을 쓴다. 한계로는 실제 환경수용력은 계절이나 먹이에 따라 바뀐다는 점, 천적이나 질병 같은 다른 요인이 빠졌다는 점을 적는다.

더 나아가 보고 싶다면 이런 질문도 좋습니다.

• 해마다 50마리씩 잡아낸다면 붕어 수는 어디에 자리 잡을까? 100마리씩이면?
• r을 0.1씩 바꿔 가며 계산할 때, 두 값을 번갈아 오가기 시작하는 r은 얼마쯤일까?
• 신제품 보급률이나 감염병 누적 환자 수도 S자 곡선을 그릴까?

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다음 글 예고: 뉴스에서 자주 보는 "오차범위 ±3.1%p"는 어떻게 계산할까요? 다음 시리즈에서는 확률과 통계로 여론조사 오차범위를 직접 계산해 봅니다.

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세특 탐구 주제 시리즈 #5 · 고등학교 수학으로 생활 속 궁금증을 직접 계산해 보는 시리즈입니다. 이번 주제는 대수의 등비수열의 합과 지수·로그입니다.

약 봉투에 적힌 "하루 2번, 12시간 간격"이라는 말은 누가, 어떻게 정했을까요? 약효를 오래 유지하려면 더 자주 먹는 게 좋을 것 같지만, 그러면 몸속 약이 너무 많아질 수도 있습니다. 이번 글에서는 가상의 약 하나를 정해 놓고, 몸속 약의 양을 한 번 먹을 때마다 직접 계산해 보겠습니다. 계산에 필요한 것은 등비수열의 합과 상용로그뿐입니다.

주요단어: 약 복용 간격, 반감기, 약동학, 카페인, 등비수열의 합, 지수함수, 상용로그, 생활 속 수학, 대수, 고등학교, 주제탐구

① 먼저 알아 둘 것: 약은 일정한 시간마다 절반이 된다

계산을 시작하기 전에 알아 둘 사실이 하나 있습니다. 몸은 약을 일정한 비율로 없앱니다. 많은 약은 몸속에 남은 양이 일정한 시간마다 절반으로 줄어듭니다. 이 시간을 반감기라고 합니다. 탄소 연대 측정에서 탄소-14가 5,730년마다 절반이 되던 것과 같은 원리입니다.

몸은 먹은 약을 여러 길로 없앱니다.

• 간에서 분해(대사): 대부분의 약은 간에서 다른 물질로 바뀌어 약효를 잃습니다.
• 콩팥을 거쳐 소변으로: 피 속의 약과 분해된 물질이 콩팥에서 걸러져 소변으로 나갑니다. 가장 큰 배출 통로입니다.
• 쓸개즙을 거쳐 대변으로: 간에서 만든 쓸개즙에 섞여 장으로 나간 뒤, 소화 과정의 찌꺼기와 함께 대변으로 빠져나갑니다.
• 땀, 숨, 침: 아주 적은 양이지만 땀이나 내쉬는 숨, 침으로도 나갑니다.

이 통로들은 몸속에 약이 많을수록 그만큼 많이 내보냅니다. 400mg이 있을 때는 한 시간에 없애는 양이 많고, 100mg이 있을 때는 적습니다. 매번 "남은 양의 일정한 비율"만큼 줄어들기 때문에, 몇 mg이 있든 같은 시간이 지나면 절반이 됩니다.

이 글에서는 다음과 같은 가상의 약 A로 계산합니다. (실제 약의 수치는 약마다 다르니, 복용은 반드시 의사·약사의 안내를 따르세요.)

• 한 번에 먹는 양: 400mg
• 반감기: 6시간 (6시간마다 몸속 양이 절반)
• 효과가 나려면 몸속에 100mg 이상 있어야 함
• 약 복용 간격 몸속 양이 700mg을 넘으면 부작용 위험

② 한 번만 먹으면: 지수함수로 줄어든다

400mg을 먹고 시간이 지나면 몸속 양은 이렇게 줄어듭니다.

t시간이 지나면 6시간이 t ÷ 6 번 지난 것이므로, 몸속 양은 400 × (1/2)^{t ÷ 6} mg입니다. 한 번만 먹으면 12시간 뒤에 딱 100mg이 되어, 그때부터는 효과가 없습니다. 그래서 효과를 이어 가려면 다시 먹어야 합니다.

생활 속 실제 예: 오후 3시에 마신 커피는 밤 11시에 얼마나 남아 있을까?
반감기는 약에만 있는 것이 아닙니다. 커피의 카페인도 몸속에서 일정한 시간마다 절반으로 줄어드는데, 성인의 카페인 반감기는 보통 약 5시간(사람에 따라 3~7시간)으로 알려져 있습니다. 아메리카노 한 잔에 카페인이 약 150mg 들어 있다고 하고 계산해 봅시다.
① 오후 3시부터 밤 11시까지는 8시간이므로, 반감기 5시간이 8 ÷ 5 = 1.6번 지납니다.
② 남은 양 = 150 × (1/2)^1.6 = 150 ÷ 2^1.6
③ 2^1.6을 상용로그로 구하면 log 2^1.6 = 1.6 × 0.3010 = 0.4816 이고, 10^0.4816 ≈ 3.03 이므로 2^1.6 ≈ 3.03
④ 남은 양 ≈ 150 ÷ 3.03 ≈ 49.5mg
잠자리에 들 때도 처음 마신 양의 약 1/3, 커피 3분의 1잔 정도가 몸속에 남아 있는 셈입니다. 오후 늦게 마신 커피가 잠을 방해하는 이유를 숫자로 확인할 수 있습니다.

③ 12시간마다 먹으면: 한 번씩 직접 계산하기

12시간은 반감기 6시간이 두 번 지나는 시간입니다. 그러니 12시간 뒤에는 남아 있던 양이 (1/2) × (1/2) = 1/4이 됩니다. 이 점만 기억하고 한 번씩 따라가 봅시다.

1. 1번째 복용 직후: 400mg
2. 2번째 복용 직후 (12시간): 남은 양 400 × 1/4 = 100mg, 여기에 새로 400mg → 100 + 400 = 500mg
3. 3번째 복용 직후 (24시간): 500 × 1/4 = 125mg 남음 → 125 + 400 = 525mg
4. 4번째 복용 직후 (36시간): 525 × 1/4 = 131.25mg 남음 → 131.25 + 400 = 531.25mg
5. 5번째 복용 직후 (48시간): 531.25 × 1/4 ≈ 132.81mg 남음 → 532.81mg

늘어나는 양이 100 → 25 → 6.25 → 1.56 으로 점점 작아집니다. 몸속 약은 계속 쌓이기만 하는 것이 아니라, 어떤 값 근처에서 거의 멈춥니다.

④ 등비수열의 합으로 정리하기

3번째 복용 직후의 525mg을 다시 뜯어보면, 몸속에는 세 번 먹은 약이 섞여 있습니다.

• 방금 먹은 약: 400mg
• 12시간 전에 먹은 약: 400 × 1/4 = 100mg
• 24시간 전에 먹은 약: 400 × (1/4)² = 25mg

더하면 400 + 100 + 25 = 525mg으로 위의 계산과 같습니다. 그러니 n번째 복용 직후의 양 S_n은 첫째항 400, 공비 1/4인 등비수열의 합입니다.

S_n = 400 + 400 × (1/4) + 400 × (1/4)² + … + 400 × (1/4)ⁿ⁻¹

등비수열의 합 공식 S = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) 에 a = 400, r = 1/4 을 넣어 한 단계씩 정리합니다.

1. 분모: 1 − 1/4 = 3/4
2. S_n = 400 × {1 − (1/4)ⁿ} ÷ (3/4) = 400 × 4/3 × {1 − (1/4)ⁿ}
3. 400 × 4/3 = 1600/3 ≈ 533.33 이므로   S_n = 533.33 × {1 − (1/4)ⁿ}

숫자로 확인해 봅시다. n = 3 이면 (1/4)³ = 1/64 = 0.015625 이므로 533.33 × (1 − 0.015625) = 533.33 × 0.984375 ≈ 525mg. ③에서 한 번씩 더한 값과 정확히 같습니다.

이 식에서 중요한 사실이 하나 보입니다. (1/4)ⁿ은 아무리 n이 커져도 0보다 큰 양수이므로, 1 − (1/4)ⁿ은 항상 1보다 작습니다. 따라서 몇 번을 먹어도 몸속 양은 533.33mg을 넘지 못합니다. 8번째에는 533.33 × (1 − 1/65,536) ≈ 533.32mg으로, 그 선에 거의 붙어 있습니다.

다음 복용 직전(가장 적을 때)의 양은 이 값의 1/4이므로 533.33 × 1/4 ≈ 133.33mg입니다. 즉 12시간 간격으로 먹으면 몸속 약은 약 133mg ~ 533mg 사이를 오가고, 이는 효과 기준 100mg과 위험 기준 700mg 사이에 쏙 들어갑니다.

⑤ 간격을 바꾸면? 6시간·12시간·24시간 비교

같은 방법으로 간격만 바꿔 봅시다. 바뀌는 것은 공비뿐입니다.

• 6시간 간격: 반감기 1번 → 공비 1/2. S_n = 400 × {1 − (1/2)ⁿ} ÷ (1/2) = 800 × {1 − (1/2)ⁿ}
  → 400, 600, 700, 750, 775, … 4번째 복용(18시간)부터 위험 기준 700mg을 넘습니다.
• 12시간 간격: 공비 1/4 → 최대 533.33mg, 최소 133.33mg (④에서 계산)
• 24시간 간격: 반감기 4번 → 공비 (1/2)⁴ = 1/16. S_n = 400 × {1 − (1/16)ⁿ} ÷ (15/16) ≈ 426.67 × {1 − (1/16)ⁿ}
  → 최대 약 426.67mg, 다음 복용 직전에는 426.67 × 1/16 ≈ 26.67mg까지 떨어집니다.

⑥ 로그로 계산하기: 24시간 간격이면 몇 시간 동안 효과가 있을까?

24시간 간격에서 먹은 직후 양은 약 426.67mg입니다. 이 양이 100mg까지 떨어지는 시간 t를 구해 봅시다.

1. 식 세우기: 426.67 × (1/2)^{t ÷ 6} = 100
2. 정리하기: 양변을 426.67로 나누면 (1/2)^{t ÷ 6} = 100 ÷ 426.67, 즉 2^{t ÷ 6} = 426.67 ÷ 100 = 4.2667
3. 양변에 상용로그: (t ÷ 6) × log 2 = log 4.2667
4. 로그 값 구하기: 4.2667 = 64/15 이므로 log 4.2667 = log 64 − log 15 = 6 log 2 − (log 3 + log 5) = 1.8062 − (0.4771 + 0.6990) = 0.6301
5. t 구하기: t ÷ 6 = 0.6301 ÷ 0.3010 ≈ 2.093 이므로 t ≈ 6 × 2.093 ≈ 12.6시간

확인: 426.67 × (1/2)^2.093 = 426.67 ÷ 2^2.093 ≈ 426.67 ÷ 4.267 ≈ 100mg. 맞습니다. 결국 24시간 간격으로 먹으면 하루 24시간 가운데 약 12.6시간만 효과가 있고, 나머지 11.4시간은 효과가 없습니다.

같은 방법으로 12시간 간격으로 먹다가 마지막 약을 먹은 뒤(533.33mg) 100mg 아래로 내려가는 시간을 구하면, 2^{t ÷ 6} = 5.333, log 5.333 = log 16 − log 3 = 1.2041 − 0.4771 = 0.7270, t = 6 × 0.7270 ÷ 0.3010 ≈ 14.5시간입니다.

⑦ 이 주제로 탐구보고서를 쓴다면

1. 탐구 질문과 가설: "약을 자주 먹을수록 좋을까?" → 가설: 간격이 짧으면 몸속 양이 계속 쌓여 위험해지고, 길면 효과가 끊긴다.
2. 자료 수집과 계산: 반감기와 1회 복용량을 정하고(실제 약은 의약품 설명서의 반감기를 참고), 간격별로 S_n을 직접 계산해 표로 정리한다. 위의 ③·④처럼 한 번씩 더한 값과 공식 값이 같은지 확인한다.
3. 그래프: 엑셀이나 파이썬으로 시간에 따른 몸속 양을 톱니 모양 그래프로 그리고, 효과 기준선과 위험 기준선을 함께 표시한다.
4. 결론과 한계: "공비가 1/4인 12시간 간격이 두 기준 사이에 머문다"처럼 수치로 결론을 쓴다. 한계로는 실제로는 약이 바로 흡수되지 않고 서서히 흡수된다는 점, 사람마다 반감기가 다르다는 점을 적는다.

더 나아가 보고 싶다면 이런 질문도 좋습니다.

• 첫 번째에만 더 많이 먹으면(처음에 533mg) 처음부터 일정한 양을 유지할 수 있을까?
• 약을 한 번 빼먹었을 때 다시 원래 범위로 돌아오려면 몇 번을 먹어야 할까?
• 반감기가 4시간이라면 몇 시간 간격이 가장 알맞을까?

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• 같은 "절반씩 줄어드는" 원리: 지수와 로그를 이용한 탄소 연대 측정의 원리
• 같은 등비수열의 합: 대출 상환액과 예금·적금 이자는 어떻게 정해질까?
• 반대로 "2배씩 늘어나는" 경우: 72의 법칙은 왜 성립할까?

다음 글 예고: 생물의 수는 왜 무한히 늘지 않을까요? 다음 시리즈에서는 연못 붕어의 수를 수열의 귀납적 정의로 계산하는 로지스틱 성장을 다룹니다.

세특 탐구 주제 시리즈는 매주 새 글이 올라옵니다. 블로그를 구독해 두시면 새 탐구 주제를 놓치지 않고 받아 보실 수 있습니다.

※ 이 글의 약 A는 수학 계산을 위한 가상의 예입니다. 실제 약의 복용량과 간격은 반드시 의사·약사의 안내를 따르세요.

세특 탐구 주제 시리즈 · 진로 연계편 (컴퓨터공학·소프트웨어공학)

지난 글 72의 법칙은 왜 성립할까?에서는 "연 8%면 약 9년 만에 돈이 2배가 된다"는 공식을 지수와 로그로 확인했습니다. 이번에는 한 걸음 더 나아가 이 공식을 계산기 프로그램으로 직접 만들어 봅니다. 이 글 아래쪽에 있는 계산기가 바로 그 결과물입니다.

요즘은 AI에게 물어보면 답을 바로 알려 줍니다. 그런데 컴퓨터공학이나 소프트웨어공학을 꿈꾸는 학생이라면 답 하나보다 답을 내는 과정을 직접 설계하고, 틀린 곳을 찾아 고쳐 본 경험이 훨씬 오래 남습니다. 이 글은 그 과정을 처음부터 끝까지, 실제로 만나 고친 버그까지 그대로 보여 드립니다.

코드는 계산기에 실제로 들어간 자바스크립트와, 학교 정보 시간에 많이 쓰는 파이썬 두 가지로 나란히 보여 드립니다. 두 언어는 모양만 조금 다를 뿐 생각하는 순서는 같습니다. 파이썬 코드는 그대로 복사해서 실행해 볼 수 있습니다.

주요단어: 72의 법칙, 계산기 만들기, HTML, 자바스크립트, 파이썬, 반복문, 알고리즘 비교, 상용로그, 좌표 변환, 디버깅, 테스트, 컴퓨터공학, 소프트웨어공학, 정보, 대수, 고등학교, 주제탐구

① 전제: 모든 프로그램은 "입력 → 처리 → 출력"이다

프로그램을 만들기 전에 가장 먼저 해야 할 일은 코드를 쓰는 것이 아니라 무엇을 받아서, 무엇을 하고, 무엇을 보여 줄지 정하는 것입니다. 72의 법칙 계산기는 이렇게 설계했습니다.

• 입력: 원금(예: 100만 원)과 연이율(예: 8%)
• 검사: 0이나 음수, 빈칸이 들어오면 계산하지 않고 안내 문구를 보여 줌
• 계산: 72의 법칙 값(72 ÷ 8 = 9.00년)과 실제 복리 값(9.01년)
• 출력: 결과 카드, 설명 문장, 그래프, 표

마지막 화살표를 눈여겨보세요. 사용자가 숫자를 하나 바꿀 때마다 ①부터 다시 실행해야 결과가 바로 바뀝니다. 자바스크립트에서는 입력칸에 input 이벤트를 걸어 이것을 처리합니다.

자바스크립트 (이 글의 계산기에 들어간 코드)

입력칸.addEventListener('input', calc);   // 숫자가 바뀌면 calc 함수를 다시 실행

파이썬 (학교에서 많이 쓰는 언어로 같은 일을 하는 코드)

파이썬에는 웹 화면의 입력칸이 없으니, 키보드로 숫자를 받는 input()을 while True 반복 안에 넣어 같은 흐름을 만듭니다. 그림1의 ①~④가 코드에 그대로 들어 있습니다. 멈추려면 Ctrl+C를 누르면 됩니다.

import math

while True:                                   # 계속 반복해서 새 숫자를 받음
    원금 = float(input("원금(만 원): "))        # ① 입력
    이율 = float(input("연이율(%): "))
    if 원금 <= 0 or 이율 <= 0:                 # ② 검사
        print("0보다 큰 숫자를 넣어 주세요.")
        continue
    법칙 = 72 / 이율                            # ③ 계산
    실제 = math.log(2) / math.log(1 + 이율 / 100)
    print(f"72의 법칙: {법칙:.2f}년, 실제: {실제:.2f}년")   # ④ 출력

100과 8을 넣으면 72의 법칙: 9.00년, 실제: 9.01년이 출력됩니다.

② 계산 방법 1: 반복문으로 한 해씩 따라가기

"돈이 2배가 되는 데 몇 년 걸릴까?"를 가장 쉽게 계산하는 방법은 컴퓨터에게 1년씩 직접 계산시키는 것입니다. 사람이 손으로 하는 방법을 그대로 옮긴 것이지요. 100만 원, 연 8%로 따라가 보겠습니다.

1년 뒤: 100만 × 1.08 = 108만 원
2년 뒤: 108만 × 1.08 = 116.64만 원
3년 뒤: 116.64만 × 1.08 = 125.97만 원
⋮
9년 뒤: 185.09만 × 1.08 = 199.90만 원 (아직 200만 원이 안 됨)
10년 뒤: 199.90만 × 1.08 = 215.89만 원 (200만 원을 넘음 → 멈춤)

이 과정을 코드로 쓰면 아래와 같습니다. "금액이 목표보다 작은 동안 계속 1.08을 곱하라"는 뜻입니다.

자바스크립트 (이 글의 계산기에 들어간 코드)

let 금액 = 100;        // 만 원
let 72의 법칙 계산기,자바스크립트,파이썬,프로그래밍 탐구,알고리즘,반복문,로그,컴퓨터공학 진로,소프트웨어공학,정보,세특 주제,년 = 0;
while (금액 < 200) {   // 2배인 200만 원이 될 때까지
  금액 = 금액 * 1.08;
  년 = 년 + 1;
}
// 반복이 끝나면 년 = 10

파이썬 (학교에서 많이 쓰는 언어로 같은 일을 하는 코드)

금액 = 100        # 만 원
년 = 0
while 금액 < 200:   # 2배인 200만 원이 될 때까지
    금액 = 금액 * 1.08
    년 = 년 + 1
print(년, round(금액, 2))   # 출력: 10 215.89

두 언어를 비교해 보면, 자바스크립트는 반복할 부분을 { } 중괄호로 묶고 파이썬은 들여쓰기로 묶는다는 차이만 있습니다.

이 방법은 이해하기 쉽지만 두 가지 한계가 있습니다. 첫째, 답이 "10년"처럼 정수로만 나옵니다. 실제로는 9년이 조금 지나서 2배가 되는데 말이지요. 둘째, 이율이 작으면 반복이 아주 많아집니다. 연 0.1%라면 1.001을 694번 곱해야 2배가 넘습니다(1.001⁶⁹³ ≈ 1.9990, 1.001⁶⁹⁴ ≈ 2.0010).

③ 계산 방법 2: 로그로 한 번에 계산하기

대수 시간에 배우는 로그를 쓰면 반복 없이 한 번에 답을 구할 수 있습니다. 2배가 되는 기간을 n년이라 하면

100만 × 1.08ⁿ = 200만
양변을 100만으로 나누면 → 1.08ⁿ = 2
양변에 상용로그를 취하면 → log 1.08ⁿ = log 2
로그의 성질 log aⁿ = n log a 를 쓰면 → n × log 1.08 = log 2
따라서 → n = log 2 ÷ log 1.08

상용로그표 값을 넣어 계산해 봅시다.

log 2 ≈ 0.3010, log 1.08 ≈ 0.0334
n ≈ 0.3010 ÷ 0.0334 ≈ 9.01년

확인: 1.08⁹ ≈ 1.999 이므로 9년에서 아주 조금 더 지나면 2가 됩니다. ②에서 9년 뒤 199.90만 원이었던 것과 딱 맞습니다. 코드로는 한 줄입니다.

자바스크립트 (이 글의 계산기에 들어간 코드)

const 실제년수 = Math.log(2) / Math.log(1 + 이율 / 100);   // 8%면 9.006...
const 법칙년수 = 72 / 이율;                                // 8%면 9

파이썬 (학교에서 많이 쓰는 언어로 같은 일을 하는 코드)

import math
이율 = 8
실제년수 = math.log(2) / math.log(1 + 이율 / 100)   # 9.006...
법칙년수 = 72 / 이율                                # 9.0
print(math.log10(2) / math.log10(1.08))           # 상용로그로 해도 9.006...

자바스크립트의 Math.log와 파이썬의 math.log는 상용로그가 아니라 다른 밑을 쓰는 로그지만(파이썬에서 상용로그는 math.log10), 나눗셈 꼴로 쓰면 밑이 무엇이든 결과가 같습니다(로그의 밑 변환 공식). 그래서 상용로그로 손계산한 9.01년과 컴퓨터 결과가 일치합니다.

이것이 컴퓨터공학에서 말하는 알고리즘 비교입니다. 같은 답을 내더라도 이율에 따라 일이 늘어나는 방법과, 언제나 한 번이면 되는 방법이 있습니다. 완성된 계산기에는 방법 2를 썼습니다.

④ 72의 법칙은 얼마나 정확할까: 프로그램으로 검증하기

공식을 만들었으면 정말 맞는지 확인해야 합니다. 프로그램으로 연이율 1%부터 36%까지 0.5%씩 바꿔 가며 72의 법칙 값과 실제 값을 모두 계산해 그래프로 그렸습니다.

8% 근처에서 오차가 거의 0이고, 이율이 아주 낮거나 높아지면 오차가 커집니다. 손으로는 다섯 개만 계산해도 힘들지만, 프로그램은 71개 이율을 순식간에 계산합니다. 이렇게 많은 경우를 빠르게 확인하는 것이 프로그래밍이 탐구에 주는 가장 큰 힘입니다. 위 표는 파이썬으로 이렇게 만들 수 있습니다.

파이썬

import math
for 이율 in [2, 6, 8, 12, 24]:
    법칙 = 72 / 이율
    실제 = math.log(2) / math.log(1 + 이율 / 100)
    print(f"{이율}%: 법칙 {법칙:.2f}년, 실제 {실제:.2f}년, 오차 {법칙 - 실제:+.2f}년")

리스트를 [x / 2 for x in range(2, 73)]로 바꾸면 1%부터 36%까지 0.5% 간격의 71가지를 모두 계산합니다. 결과를 matplotlib으로 그리면 그림3이 됩니다.

⑤ 화면에 그래프 그리기: 좌표 변환은 일차식이다

계산기 안의 그래프는 HTML의 canvas(그림판)에 직접 점을 찍어 그렸습니다. 그런데 여기서 문제가 하나 생깁니다. 수학의 좌표평면은 위로 갈수록 y가 커지지만, 컴퓨터 화면은 왼쪽 위가 (0, 0)이고 아래로 갈수록 y가 커집니다.

그래서 "(9년, 199.9만 원)"이라는 점을 화면의 픽셀 위치로 바꾸는 식이 필요합니다. 그림판 크기는 가로 640픽셀, 세로 320픽셀이고, 눈금 글자를 쓸 여백으로 왼쪽 62, 오른쪽 16, 위 20, 아래 40픽셀을 비웠습니다. 그래프는 0~30년, 0~1006.3만 원(100만 × 1.08³⁰)을 보여 줍니다.

가로 위치: 그래프를 그릴 수 있는 폭 = 640 − 62 − 16 = 562픽셀
x = 62 + 562 × (9 ÷ 30) = 62 + 168.6 = 230.6픽셀

세로 위치: 그래프를 그릴 수 있는 높이 = 320 − 20 − 40 = 260픽셀, 바닥선은 320 − 40 = 280픽셀
y = 280 − 260 × (199.9 ÷ 1006.3) = 280 − 51.6 = 228.4픽셀

세로 식에서 빼기를 쓴 것이 핵심입니다. 금액이 클수록 화면에서는 위쪽, 즉 픽셀 값이 작은 쪽에 찍혀야 하니까요. 두 식 모두 일차식이라는 점도 눈여겨보세요. 게임 화면, 지도 앱, 주식 차트도 모두 이런 좌표 변환으로 그려집니다.

자바스크립트 (이 글의 계산기에 들어간 코드)

const x = t => 62 + 562 * t / 30;            // 년 → 가로 픽셀
const y = v => 280 - 260 * v / 1006.3;       // 만 원 → 세로 픽셀

파이썬 (학교에서 많이 쓰는 언어로 같은 일을 하는 코드)

x = lambda t: 62 + 562 * t / 30            # 년 → 가로 픽셀
y = lambda v: 280 - 260 * v / 1006.3       # 만 원 → 세로 픽셀
print(round(x(9), 1), round(y(199.9), 1))  # 출력: 230.6 228.4

⑥ 테스트하다 찾은 버그 3가지

프로그램은 처음부터 완벽하게 동작하지 않습니다. 이 계산기도 여러 숫자를 넣어 보며 실제로 아래 버그들을 찾아 고쳤습니다. 소프트웨어공학에서는 이 과정을 테스트와 디버깅이라고 부릅니다.

버그 1: "9년 뒤 200만 원 (아직 2배 전)"이라는 모순된 문장
9년 뒤 금액 199.90만 원을 정수로 반올림해서 "200만 원"으로 보여 줬더니, 2배가 됐는데 "아직 2배 전"이라고 쓰는 이상한 문장이 나왔습니다. 계산은 맞았지만 보여 주는 방식이 틀린 경우입니다. 소수 첫째 자리까지 보여 주도록 바꿔 "199.9만 원"이 되게 고쳤습니다.

버그 2: "709만 원로 2배를 넘어요"
원금 300만 원, 연 24%로 테스트하니 문장이 어색했습니다. "원"은 받침이 있어서 "으로"를 써야 하는데 "로"를 붙였기 때문입니다. 숫자가 바뀌어도 늘 자연스럽도록 "709.3만 원이 되어 2배를 넘어요"처럼 조사가 바뀌지 않는 문장으로 고쳤습니다.

버그 3: 그래프 오른쪽 끝 글자가 잘림
처음에는 그래프를 "2배 되는 기간 × 3"까지만 그렸더니 8배 지점이 그래프 오른쪽 끝에 붙어서 "8배 (27.0년)" 글자가 화면 밖으로 잘렸습니다. 그래프 범위를 3.3배로 넓히고, 오른쪽에 가까운 글자는 점의 왼쪽에 쓰도록 바꿨습니다.

세 버그 모두 "8%, 100만 원" 한 가지만 넣어 봤다면 찾지 못했을 것입니다. 이율을 높게, 원금을 다르게, 화면을 좁게 바꿔 가며 테스트한 덕분에 찾았습니다.

⑦ 완성된 계산기 써 보기

아래 계산기에 숫자를 직접 넣어 보세요. 원금과 연이율을 바꾸면 결과 카드, 설명 문장, 그래프, 표가 바로 바뀝니다. 이율을 30% 이상으로 올려 72의 법칙 오차가 커지는 것도 확인해 보세요.

⑧ 이 주제로 탐구보고서를 쓴다면

이 글의 과정을 그대로 따라 하면 정보 교과와 대수를 잇는 탐구보고서가 됩니다.

1. 탐구 질문과 가설: "72의 법칙은 어느 이율에서 가장 정확할까? 반복문과 로그 공식 중 어떤 알고리즘이 더 효율적일까?" 가설 예시: "이율이 높을수록 72의 법칙의 오차가 커질 것이다."
2. 필요한 자료와 방법: 연이율 1%~36%를 0.5%씩 바꾼 71가지 경우. ②의 반복문과 ③의 로그 공식을 각각 코드로 작성하고(파이썬으로 해도 충분합니다), 이율마다 반복 횟수와 결과를 기록합니다. 손계산으로 8%와 24% 두 경우를 직접 확인해 코드가 맞는지 검증합니다.
3. 계산과 그래프: 그림3처럼 "이율–오차" 그래프와, 이율이 작아질 때 반복 횟수가 얼마나 늘어나는지(8%는 10번, 0.1%는 694번) 표로 정리합니다.
4. 결론과 한계: 72의 법칙은 8% 근처에서 가장 정확하고, 로그 공식은 이율과 관계없이 계산 한 번으로 끝난다는 결론을 냅니다. 한계로 "연 1회 복리만 다뤘다", "세금과 수수료를 빼지 않았다"를 쓰고, 확장 질문으로 "월 복리라면 결과가 어떻게 달라질까?"를 남깁니다.

보고서에는 ⑥처럼 직접 겪은 버그와 고친 과정을 꼭 넣으세요. 결과만 있는 보고서보다 "어디서 막혔고 어떻게 해결했는지"가 있는 보고서가 컴퓨터공학 전공 적합성을 훨씬 잘 보여 줍니다.

⑨ 직접 해 보기 (답은 아래에)

1. ②의 반복문을 고쳐서 100만 원이 연 8%로 3배(300만 원)가 되는 해를 구해 보세요.
2. 로그로 3배가 되는 정확한 기간을 구해 보세요. (log 3 ≈ 0.4771)
3. 2번 답에 8을 곱해 보세요. 3배가 되는 기간에도 "72의 법칙" 같은 규칙을 만들 수 있을까요?

마무리

"72 ÷ 이율"이라는 한 줄짜리 공식도 계산기로 만들려면 입력 검사, 알고리즘 선택, 좌표 변환, 테스트까지 여러 단계를 거쳐야 합니다. 그리고 그 각 단계에 반복, 로그, 일차식 같은 고등학교 수학이 들어 있습니다. AI가 코드를 대신 써 주는 시대에도, 무엇을 만들지 설계하고 틀린 곳을 찾아내는 힘은 직접 만들어 본 사람만 가질 수 있습니다.

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세특 탐구 주제 시리즈는 계속됩니다. 다음 진로 연계편에서는 대출 이자를 한 달씩 계산해 주는 대출 상환 시뮬레이터를 만들어 볼 예정입니다. 새 탐구 주제를 놓치지 않으려면 블로그를 구독해 주세요.

은행에 돈을 맡기면 이자를 받고, 은행에서 돈을 빌리면 이자를 냅니다. 그런데 그 이자와, 대출을 갚을 때 "매달 같은 금액"(원리금균등상환)은 어떻게 정해질까요? 은행 계산기 안에 들어 있는 것은 사실 고등학교에서 배우는 등차수열과 등비수열입니다. 이번 글에서는 가장 중요한 전제조건부터 확인한 뒤, 정기예금 → 적금 → 대출 순서로 한 달씩 직접 따라가며 계산해 보겠습니다.

주요단어: 원리금균등상환, 원금균등상환, 대출 이자, 정기예금, 적금, 단리, 복리, 등차수열의 합, 등비수열의 합, 이자소득세, 경제, 경제 수학, 생활 속 수학, 대수, 고등학교, 주제탐구

① 전제조건: 시간은 돈이다

이 탐구를 이해하기 위해선 가장 중요한 전제조건이 있습니다.

시간이 돈이라는 사실입니다.

오늘 받는 100만 원과 1년 뒤에 받는 100만 원은 같은 값일까요? 그렇지 않습니다. 오늘 100만 원이 있으면 그 돈을 은행에 1년 동안 맡겨 이자를 받을 수 있기 때문입니다. 연 3.6% 금리라면

1년 이자: 100만 × 0.036 = 36,000원
1년 뒤 받는 돈: 100만 + 36,000 = 103만 6,000원

즉 오늘의 100만 원은 1년 뒤의 103만 6,000원과 같은 값입니다. 돈이 "시간"을 거치면서 36,000원이 새로 생긴 것이지요.

이렇게 돈이 생기는 이유는, 돈을 맡기는 사람이 그동안 그 돈을 쓰지 못하고 기다려 주기 때문입니다. 은행은 기다려 준 시간의 값을 이자로 치러 줍니다. 이율(금리)은 바로 이 "시간의 값"을 퍼센트로 나타낸 것입니다. 연 3.6%는 "100만 원을 1년 동안 쓰지 않고 맡겨 주면 3만 6,000원을 준다"는 뜻입니다.

시간이 길어지면 생기는 돈도 늘어납니다. 같은 100만 원을 2년 맡기면 이자가 36,000 × 2 = 72,000원이 됩니다(단리 기준). 그래서 이 글에서 계산하는 모든 이자는 다음 세 가지로 정해집니다.

이자 = 맡기거나 빌린 돈 × 이율 × 시간

돈을 맡기는 사람은 시간의 값을 받고(정기예금, 적금), 돈을 빌리는 사람은 시간의 값을 냅니다(대출). 이제 이 전제를 가지고 하나씩 계산해 보겠습니다.

② 정기예금: 목돈을 한 번에 맡기면

먼저 은행에 돈을 맡기는 경우부터 봅시다. 예금은 사실 내가 은행에 돈을 빌려주는 것과 같습니다. 그래서 은행이 나에게 "시간의 값", 즉 이자를 줍니다.

정기예금은 목돈을 한 번에 맡기고 정해진 기간 뒤에 찾는 상품입니다. 다음 조건으로 계산해 보겠습니다.

• 맡긴 돈: 1,200만 원 (한 번에)
• 금리: 연 3.6%, 기간: 1년

단리로 계산하기

단리는 처음 맡긴 원금에만 이자가 붙는 방식입니다.

1년 이자: 1,200만 × 0.036 = 43만 2,000원

그런데 이자를 그대로 다 받지는 않습니다. 이자에는 이자소득세 15.4%(소득세 14% + 지방소득세 1.4%)가 붙습니다.

1. 세금 계산: 432,000 × 0.154 = 66,528원
2. 세후 이자: 432,000 − 66,528 = 365,472원

즉 1년 뒤 실제로 손에 쥐는 돈은 1,200만 + 365,472 = 1,236만 5,472원입니다.

월복리로 계산하기

월복리는 이자를 매달 원금에 더해, 다음 달에는 이자에도 이자가 붙는 방식입니다. 한 달 이자율은 3.6% ÷ 12 = 0.3% 입니다.

1개월 뒤: 1,200만 × 1.003 = 1,203만 6,000원
2개월 뒤: 1,203만 6,000 × 1.003 = 1,200만 × 1.003² ≈ 1,207만 2,108원
12개월 뒤: 1,200만 × 1.003¹² ≈ 1,200만 × 1.0366 = 1,243만 9,200원

이자는 43만 9,200원으로, 단리보다 7,200원 많습니다. 1년만 보면 차이가 작지만, 오래 맡길수록 차이가 커집니다.

단리는 등차수열, 복리는 등비수열

1원리금균등상환,대출 이자 계산,정기예금 이자 계산,적금 이자 계산,단리 복리,등비수열의 합,경제 수학,수학 탐구,세특 주제,고등학교 수학, ,200만 원을 연 3.6%로 오래 맡긴다고 해 봅시다.

• 단리: 매년 똑같이 43만 2,000원씩 늘어납니다. 1,200만, 1,243.2만, 1,286.4만, … 처럼 같은 수를 더하는 등차수열입니다.
• 연복리: 매년 1.036배가 됩니다. 1,200만, 1,243.2만, 1,287.9만, … 처럼 같은 수를 곱하는 등비수열입니다.

30년 뒤를 계산하면 단리는 1,200만 × (1 + 0.036 × 30) = 2,496만 원, 복리는 1,200만 × 1.036³⁰ ≈ 3,467만 원으로 약 971만 원이나 차이가 납니다.

③ 적금: 매달 조금씩 모으면

적금은 목돈 대신 매달 같은 돈을 나누어 넣는 상품입니다. 다음 조건으로 계산해 보겠습니다.

• 매달 넣는 돈: 100만 원, 기간: 12개월 (총 1,200만 원)
• 금리: 연 4%, 우리나라 정기적금에서 흔한 단리 방식

회차마다 은행에 머무는 기간이 다르다

적금 이자는 각 100만 원이 은행에 몇 개월 있었는지로 정해집니다. 첫 달에 넣은 100만 원은 12개월 동안 있지만, 마지막 달에 넣은 100만 원은 1개월만 있습니다. 여기서도 시간이 곧 돈입니다.

1. 1회차 100만 원 (12개월): 100만 × 0.04 × 12/12 = 40,000원
2. 2회차 100만 원 (11개월): 100만 × 0.04 × 11/12 ≈ 36,667원
3. 3회차 100만 원 (10개월): 100만 × 0.04 × 10/12 ≈ 33,333원
4. … 이렇게 한 달씩 줄어서
5. 12회차 100만 원 (1개월): 100만 × 0.04 × 1/12 ≈ 3,333원

회차별 이자는 매번 3,333원씩 줄어드는 등차수열입니다. 등차수열의 합 공식 (첫째항 + 끝항) × 개수 ÷ 2 를 쓰면

(40,000 + 3,333) × 12 ÷ 2 ≈ 260,000원

입니다. 더 정확하게는 100만 × 0.04 × (12 + 11 + … + 1) ÷ 12 = 100만 × 0.04 × 78 ÷ 12 = 260,000원으로 딱 떨어집니다. 세금 15.4%(40,040원)를 빼면 세후 이자는 219,960원입니다.

금리 4% 적금인데, 왜 3.6% 예금보다 이자가 적을까?

같은 1,200만 원을 넣었는데 적금(4%) 이자는 26만 원, 예금(3.6%) 이자는 43만 2,000원입니다. 금리가 더 높은 적금 이자가 훨씬 적습니다.

이유는 역시 시간입니다. 예금은 1,200만 원 전체가 12개월 내내 은행에 있지만, 적금은 처음에는 100만 원, 반년쯤 지나야 600만 원 정도만 은행에 있습니다. 실제로 260,000 ÷ 1,200만 ≈ 0.0217 이므로, 연 4% 적금은 1,200만 원 예금으로 치면 약 연 2.2%짜리와 비슷합니다. 적금 금리를 볼 때는 이 점을 꼭 기억해야 합니다.

월복리 적금은 등비수열의 합

적금이 월복리라면 회차마다 (1 + 0.04/12)를 머문 개월 수만큼 곱합니다. 한 달 이자율 0.04 ÷ 12 ≈ 0.003333 이고, 1 + 0.003333 = 1.003333 을 q라고 두겠습니다.

1. 1회차 100만 원은 12개월 뒤 100만 × q¹², 2회차는 100만 × q¹¹, …, 12회차는 100만 × q 가 됩니다.
2. 만기 금액은 100만 × (q + q² + … + q¹²) 이고, 괄호 안은 첫째항 q, 공비 q인 등비수열의 합입니다.
3. q¹² ≈ 1.040742 이므로, 합 = q × (q¹² − 1) ÷ (q − 1) = 1.003333 × 0.040742 ÷ 0.003333 ≈ 12.2632
4. 만기 금액 ≈ 100만 × 12.2632 = 1,226만 3,204원, 이자는 263,204원입니다.

단리 적금보다 3,204원 많습니다. 그리고 이 등비수열의 합은 바로 다음 ④에서 대출 상환액을 구할 때 그대로 다시 등장합니다.

④ 원리금균등상환: 대출을 갚는 돈은 어떻게 정해질까

이번에는 거꾸로 은행에서 돈을 빌리는 경우입니다. 이때는 내가 은행의 돈을 쓰는 시간만큼 "시간의 값"을 이자로 내야 합니다. 은행에서 돈을 빌리면 보통 매달 같은 금액을 갚는데, 이 방식을 원리금균등상환이라고 합니다.

문제: 1,000만 원을 12개월 동안 갚으려면?

다음 조건으로 돈을 빌렸다고 합시다.

• 빌린 돈: 1,000만 원
• 금리: 연 6% → 한 달 이자율은 6% ÷ 12 = 0.5% (= 0.005)
• 기간: 12개월, 매달 같은 금액 A원을 갚음

먼저 첫 달에 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 한 달이 지나면 빌린 돈에 이자 0.5%가 붙습니다.

1개월 뒤 이자: 1,000만 × 0.005 = 5만 원
갚기 전 빚: 1,000만 + 5만 = 1,005만 원 = 1,000만 × 1.005

여기서 A원을 갚으면 남은 빚은 1,000만 × 1.005 − A 원입니다.

한 달씩 따라가며 식 세우기

2개월째에는 남은 빚에 다시 1.005가 곱해지고, 또 A를 갚습니다.

1개월 뒤 남은 빚: 1,000만 × 1.005 − A
2개월 뒤 남은 빚: (1,000만 × 1.005 − A) × 1.005 − A
           = 1,000만 × 1.005² − A × 1.005 − A
3개월 뒤 남은 빚: 1,000만 × 1.005³ − A × 1.005² − A × 1.005 − A

규칙이 보입니다. 빌린 돈에는 1.005가 개월 수만큼 곱해지고, 갚은 돈 A들은 각각 "갚은 뒤 남은 개월 수"만큼 1.005가 곱해집니다. 그러니 12개월 뒤 남은 빚은

1,000만 × 1.005¹² − A × (1.005¹¹ + 1.005¹⁰ + … + 1.005 + 1)

입니다. 12개월 뒤에는 빚을 다 갚아야 하므로 이 값이 0이 되어야 합니다.

1,000만 × 1.005¹² = A × (1 + 1.005 + 1.005² + … + 1.005¹¹)

등비수열의 합으로 A 구하기

오른쪽 괄호 안은 첫째항 1, 공비 1.005인 등비수열의 첫째항부터 제12항까지의 합입니다. 등비수열의 합 공식 S = a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) 을 쓰면 됩니다. 한 단계씩 계산해 보겠습니다.

1. 1.005¹²을 계산합니다.   1.005¹² ≈ 1.061678
2. 왼쪽을 계산합니다.   1,000만 × 1.061678 ≈ 10,616,778원
3. 오른쪽 괄호(등비수열의 합)를 계산합니다.   (1.005¹² − 1) ÷ (1.005 − 1) = 0.061678 ÷ 0.005 ≈ 12.3356
4. A를 구합니다.   A = 10,616,778 ÷ 12.3356 ≈ 860,664원

즉 매달 약 86만 664원씩 12번 갚으면 됩니다. 이 과정을 문자로 정리하면 빌린 돈 P, 월이율 i, 개월 수 n일 때의 공식이 됩니다.

A = P × i × (1 + i)ⁿ ÷ {(1 + i)ⁿ − 1}

정말 0이 되는지 표로 확인하기

매달 860,664원을 내면, 그중 얼마가 이자이고 얼마가 원금을 갚는 데 쓰일까요? 이자는 항상 "그달 남은 빚 × 0.5%"이고, 나머지가 원금 상환입니다.

1회차를 직접 확인해 보면, 이자는 1,000만 × 0.005 = 50,000원이고 원금 상환은 860,664 − 50,000 = 810,664원, 남은 빚은 10,000,000 − 810,664 = 9,189,336원입니다. 이렇게 12번을 반복하면 정확히 0원이 됩니다. (원 단위 반올림 때문에 표의 숫자끼리 1원 정도 차이가 날 수 있습니다.)

매달 내는 돈은 같지만, 처음에는 이자 비중이 크고 갈수록 원금 비중이 커진다는 점이 원리금균등상환의 핵심입니다. 12개월 동안 낸 돈은 860,664 × 12 = 10,327,968원이므로, 이자로 낸 돈은 약 32만 8천 원입니다.

원금균등상환과 비교하기

또 다른 방식인 원금균등상환은 원금을 매달 똑같이 나눠 갚고, 이자는 따로 냅니다.

• 원금: 1,000만 ÷ 12 ≈ 833,333원씩 매달 똑같이
• 1회차 이자: 1,000만 × 0.005 = 50,000원 → 1회차에 883,333원
• 12회차 이자: 남은 빚 833,333원 × 0.005 ≈ 4,167원 → 12회차에 837,500원

이자를 모두 더하면 50,000 + 45,833 + … + 4,167 = 325,000원입니다. 이 값도 등차수열의 합으로 구할 수 있습니다. 이자가 매달 4,167원씩 줄어드는 등차수열이기 때문에, (첫째항 + 끝항) × 개수 ÷ 2 = (50,000 + 4,167) × 12 ÷ 2 ≈ 325,000원입니다.

원금균등상환은 원금을 더 빨리 줄이기 때문에 총이자가 조금 적습니다. 대신 처음 몇 달의 부담이 더 큽니다. 어느 쪽이 좋은지는 처음 부담을 감당할 수 있는지에 따라 달라집니다.

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이번에는 1억 원을 연 4.8%(월 0.4%)로 30년(360개월) 빌린 경우를 같은 공식으로 계산해 봅시다.

1. 1.004³⁶⁰ ≈ 4.2086
2. A = 1억 × 0.004 × 4.2086 ÷ (4.2086 − 1) = 1,683,440 ÷ 3.2086 ≈ 524,665원

첫 달 이자만 1억 × 0.004 = 40만 원이므로, 524,665원 가운데 원금을 갚는 데 쓰이는 돈은 약 12만 5천 원뿐입니다. 원금 상환액이 이자보다 커지는 것은 188회차, 즉 15년 8개월쯤부터입니다.

상환 기간을 바꾸면 어떻게 될까요? 같은 1억 원, 연 4.8%로 계산하면 다음과 같습니다.

기간을 30년에서 40년으로 늘리면 매달 부담은 약 5만 6천 원 줄지만, 총이자는 약 3,600만 원 늘어납니다. 40년이면 빌린 돈보다 이자가 더 많아집니다.

⑤ 대출과 적금은 같은 식을 거꾸로 본 것

④에서 세운 대출 식을 다시 보겠습니다.

1,000만 × 1.005¹² = A × (1 + 1.005 + … + 1.005¹¹)

• 왼쪽: 빌린 1,000만 원이 12개월 동안 월 0.5% 복리로 불어난 값 ≈ 1,061만 6,778원
• 오른쪽: 매달 A원을 월 0.5% 복리 적금에 넣었을 때 12개월 뒤 모이는 돈

실제로 A = 860,664원을 넣으면 오른쪽도 약 1,061만 7천 원이 되어 양쪽이 같아집니다. 즉 원리금균등상환이란 "빌린 돈이 불어나는 속도"와 "갚는 돈이 적금처럼 쌓이는 속도"를 똑같이 맞춘 것입니다. 시간이 돈이라는 전제가 대출, 예금, 적금을 하나의 식으로 묶어 줍니다.

⑥ 탐구 보고서·세특 주제로 확장하는 방법

• 공식 일반화: ④에서 한 달씩 따라간 과정을 P, i, n 문자로 다시 따라가며 공식을 직접 유도하고, 수학적 귀납법으로 "n개월 뒤 남은 빚" 식이 맞음을 증명하기
• 금리 민감도: 금리가 0.5%p 오를 때 매달 내는 돈과 총이자가 얼마나 늘어나는지 표와 그래프로 분석하기
• 중도 상환 효과: 5년 차에 1,000만 원을 미리 갚으면 남은 기간의 총이자가 얼마나 줄어드는지 계산하기
• 연금과 비교: 매달 같은 돈을 받는 연금의 현재가치도 같은 등비수열의 합으로 구해지는 이유 설명하기
• 예금과 적금 비교: 같은 금리에서 적금이 예금으로 치면 몇 %짜리인지 기간(6개월, 1년, 3년)별로 계산하고 규칙 찾기
• 세금까지 고려하기: 이자소득세 15.4%와 비과세 상품을 비교해, 세후 수익률이 얼마나 달라지는지 분석하기

복리가 시간이 지나며 얼마나 불어나는지는 72의 법칙은 왜 성립할까?에서 자세히 다뤘습니다.

마무리

은행 앱이 알려 주는 "월 상환액"과 "만기 예상 금액"은 모두 한 달씩 이자가 붙는 과정을 등차수열과 등비수열로 정리한 결과입니다. 숫자 하나하나를 직접 따라가 보면, 기간과 금리, 그리고 돈을 넣는 방식이 우리 지갑에 어떤 차이를 만드는지 분명하게 보입니다.

※ 이 글은 수학적 원리를 설명하기 위한 글이며, 특정 금융 상품의 이용을 권유하지 않습니다. 실제 대출·예금·적금 조건은 금융기관마다 다릅니다.

박물관에서 "약 1만 년 전 유물"이라는 설명을 보면 궁금해집니다. 달력도 없던 시절의 물건인데, 그 나이를 어떻게 알아냈을까요? 그 답 가운데 하나가 탄소 연대 측정입니다. 이번 글에서는 이 방법을 고등학교 지수와 로그만으로 직접 계산해 보겠습니다.

주요단어: 탄소 연대 측정, 반감기, 탄소-14, 지수함수, 로그, 상용로그, 생활 속 수학

① 탄소-14는 어떻게 "시계"가 될까?

살아 있는 생물은 숨을 쉬고 음식을 먹으면서 몸속 탄소를 계속 바꿉니다. 탄소 가운데 아주 적은 양은 방사성을 띠는 탄소-14인데, 살아 있는 동안에는 몸속 탄소-14의 비율이 공기 중 비율과 거의 같게 유지됩니다.

그런데 생물이 죽으면 새 탄소가 더 들어오지 않습니다. 그때부터 몸속 탄소-14는 일정한 규칙으로 줄어들기만 합니다. 그 규칙이 바로 반감기입니다.

탄소-14의 반감기는 약 5,730년입니다. 즉 5,730년마다 남아 있는 양이 절반이 됩니다.

쉽게 이해하기 위해, 어떤 나무가 죽는 순간 몸속에 탄소-14 원자가 1,000개 있었다고 해 봅시다. (실제로는 훨씬 많지만, 비율은 똑같이 줄어듭니다.)

표를 보면 "5,730년이 몇 번 지났는지"가 (1/2)의 지수가 됩니다. 5,730년이 1번 지나면 (1/2)¹, 2번 지나면 (1/2)²입니다. 그러니 t년이 지났다면 5,730년이 t ÷ 5,730 번 지난 것이고, 남은 비율은 다음과 같습니다.

남은 비율 = (1/2)^{t ÷ 5730}

예를 들어 t = 11,460년이면 t ÷ 5730 = 2 이므로 (1/2)² = 0.25, 즉 25%로 표와 같습니다.

② 거꾸로 풀기: 30%가 남은 유물은 몇 년 전 것일까?

실제 문제는 반대 방향입니다. 유물을 측정해 보니 탄소-14가 살아 있는 생물의 30%만 남아 있었다고 합시다. 이 유물은 몇 년 전 것일까요?

30%는 25%(11,460년)보다 조금 많으니, 답은 11,460년보다 조금 적을 것이라고 먼저 짐작할 수 있습니다. 이제 정확히 계산해 봅시다. 풀어야 할 식은

(1/2)^{t ÷ 5730} = 0.3

입니다. 지수에 있는 t를 꺼내려면 로그가 필요합니다. 한 단계씩 풀어 보겠습니다.

1. 지수를 간단히 씁니다. t ÷ 5730 을 x라고 두면   (1/2)^x = 0.3
2. 양변에 상용로그를 취합니다.   log (1/2)^x = log 0.3
3. 로그의 성질 log aⁿ = n·log a 로 x를 앞으로 꺼냅니다.   x × log(1/2) = log 0.3
4. 각 로그 값을 구합니다.
   • log(1/2) = log 1 − log 2 = 0 − 0.3010 = −0.3010
   • log 0.3 = log (3 ÷ 10) = log 3 − log 10 = 0.4771 − 1 = −0.5229
5. x를 구합니다.   x = (−0.5229) ÷ (−0.3010) ≈ 1.737
6. t로 되돌립니다. x = t ÷ 5730 이므로   t = 5730 × 1.737 ≈ 9,953년

짐작대로 11,460년보다 조금 적은, 약 1만 년 전 유물이라는 결론이 나옵니다.

정말 맞는지 확인해 봅시다. x = 1.737 을 다시 넣으면 (1/2)^1.737 = 1 ÷ 2^1.737 이고, 2^1.737 ≈ 3.33 이므로 1 ÷ 3.33 ≈ 0.300, 즉 30%가 정확히 나옵니다.

③ 같은 방법으로 몇 가지 더 계산해 보기

위 과정을 정리하면 어떤 비율 p가 남았을 때의 나이는

t = 5730 × log p ÷ log(1/2)

입니다. 여러 비율에 넣어 보면 다음과 같습니다.

52.7%가 남은 경우 약 5,300년이 나오는데, 1991년 알프스 빙하에서 발견된 "아이스맨 외치"가 이 정도 연대의 인물로 알려져 있습니다.

④ 로그를 취하면 왜 직선이 될까?

그림 1의 곡선은 처음에 빠르게, 나중에는 천천히 줄어듭니다. 그런데 남은 비율에 로그를 취해 다시 그리면 곡선이 직선으로 바뀝니다.

이유는 ②의 3단계에 있습니다. log (1/2)^x = x × log(1/2) = −0.3010 × x 이므로, 로그 값은 x(= t ÷ 5730)에 정비례합니다. 실제로 5,730년마다 로그 값이 −0.301, −0.602, −0.903으로 0.301씩 똑같이 줄어듭니다.

과학자들이 반감기를 실험으로 구할 때도 이 성질을 씁니다. 측정값에 로그를 취해 직선을 그리고, 그 기울기로 반감기를 알아내는 것이지요.

⑤ 측정이 1%만 틀려도 나이는 얼마나 달라질까?

측정에는 늘 오차가 있습니다. 30%라고 잰 값이 실제로는 29%나 31%였다면 어떻게 될까요? ③의 식에 넣어 보면

• 29%라면 약 10,233년
• 30%라면 약 9,953년
• 31%라면 약 9,682년

남은 비율이 1%p만 달라져도 추정 나이가 약 280년씩 달라집니다. 그래서 탄소 연대 측정 결과는 보통 "9,950 ± 300년"처럼 범위로 발표합니다. 또 실제 측정에서는 옛날 공기 중 탄소-14 비율이 지금과 조금 달랐던 점을 보정하는 과정도 거칩니다.

⑥ 탐구 보고서·세특 주제로 확장하는 방법

• 오차 분석: 남은 비율이 10%, 50%, 90%일 때 각각 1%p 오차가 나이를 얼마나 바꾸는지 계산하고, 오래된 유물일수록 오차가 커지는 이유를 설명하기
• 측정 한계 찾기: 남은 비율이 1% 이하가 되면 측정이 어렵다고 할 때, 탄소 연대 측정으로 잴 수 있는 최대 나이 구하기
• 다른 반감기와 비교: 의료용 방사성 물질이나 약물의 체내 반감기처럼, 같은 지수·로그 모델이 쓰이는 다른 예 찾아 계산하기
• 그래프로 확인: 엑셀로 시간에 따른 남은 비율과 그 로그 값을 각각 그려, 곡선이 직선으로 바뀌는 모습 직접 확인하기

지수로 늘어나는 경우가 궁금하다면 72의 법칙은 왜 성립할까?를, 로그가 우리 감각과 어떻게 이어지는지 궁금하다면 로그를 활용한 베버-페히너 법칙 탐구를 함께 읽어 보세요.

마무리

탄소 연대 측정은 "일정한 시간마다 절반이 된다"는 단순한 규칙에서 출발합니다. 그 규칙을 지수로 쓰고, 로그로 거꾸로 풀면 1만 년 전 유물의 나이까지 계산할 수 있습니다. 교과서의 지수·로그가 실제 과학에서 어떻게 쓰이는지 보여 주는 좋은 탐구 주제입니다.

은행이나 증권사 광고에서 "연 8%면 9년 만에 두 배"라는 말을 본 적이 있을 겁니다. 이 계산 뒤에는 72의 법칙이라는 간단한 공식이 있습니다. 이번 글에서는 이 공식이 왜 성립하는지 고등학교 지수·로그로 직접 확인해 보고, 탐구 보고서나 세특 주제로 확장하는 방법까지 정리해 보겠습니다.

주요단어: 72의 법칙, 복리, 경제, 경제 수학, 지수함수, 로그함수, 근사, 생활 속 수학

① 72의 법칙이란?

연 이율이 R%인 복리 상품에 돈을 넣었을 때, 원금이 두 배가 되는 데 걸리는 기간(년)은 대략 다음과 같습니다.

원금이 두 배가 되는 기간 ≈ 72 ÷ R

예를 들어 연 6%라면 72 ÷ 6 = 12년, 연 8%라면 72 ÷ 8 = 9년입니다. 계산기 없이 암산할 수 있다는 것이 이 법칙의 가장 큰 장점입니다.

② 정확한 식부터 세워 보자 (지수·로그)

100만 원을 연 8% 복리로 맡겼다고 해 봅시다. 1년 뒤에는 원금에 이자 8%가 붙습니다.

1년 뒤: 100만 + (100만 × 0.08) = 100만 + 8만 = 108만 원

이 식은 100만 × (1 + 0.08) = 100만 × 1.08 과 같습니다. 1년이 지날 때마다 금액에 1.08을 곱하는 셈입니다. 복리는 이자에도 이자가 붙으므로, 2년 뒤에는 108만 원에 다시 1.08을 곱합니다.

2년 뒤: 108만 + (108만 × 0.08) = 108만 + 8만 6,400 = 116만 6,400원 = 100만 × 1.08²
3년 뒤: 100만 × 1.08³ = 125만 9,712원
t년 뒤: 100만 × 1.08^t

원금이 두 배, 즉 200만 원이 되는 순간을 찾으려면 100만 × 1.08^t = 200만, 양변을 100만으로 나누면

1.08^t = 2

를 풀면 됩니다. 원금이 100만 원이든 1,000만 원이든 양변에서 나누어 사라지므로, 두 배가 되는 기간은 원금과 상관없이 금리만으로 정해집니다.

이제 1.08^t = 2 를 한 단계씩 풀어 보겠습니다.

1. 양변에 상용로그를 취합니다.   log 1.08^t = log 2
2. 로그의 성질 log aⁿ = n·log a 를 이용해 지수 t를 앞으로 꺼냅니다.   t × log 1.08 = log 2
3. 양변을 log 1.08로 나눕니다.   t = log 2 ÷ log 1.08
4. 값을 넣어 계산합니다. 상용로그표(또는 계산기)에서 log 2 ≈ 0.3010, log 1.08 ≈ 0.0334 이므로   t ≈ 0.3010 ÷ 0.0334 ≈ 9.01년

정말 9년쯤 지나면 두 배가 되는지 직접 확인해 봅시다. 100만 × 1.08⁹ ≈ 199만 9,005원으로 200만 원에 아주 조금 못 미치고, 100만 × 1.08¹⁰ ≈ 215만 8,925원으로 200만 원을 넘습니다. 그러니 두 배가 되는 시점은 9년을 아주 조금 넘긴 때이고, 계산 결과 9.01년과 딱 맞습니다. 72의 법칙으로 계산한 72 ÷ 8 = 9년과도 거의 같습니다.

같은 과정을 연 이율 r(8%면 r = 0.08)에 대해 일반화하면 (1 + r)^t = 2 에서

t = log 2 ÷ log(1 + r)

이 되고, 이것이 두 배가 되는 기간의 정확한 값입니다.

하지만 log 1.08 같은 값은 상용로그표나 계산기 없이는 구하기 어렵습니다. 그래서 "금리만 알면 바로 계산되는" 간단한 규칙이 필요합니다.

③ 금리 × 기간은 거의 일정하다

여러 금리에 대해 정확한 기간 t를 계산하고, 금리 R(%)과 곱해 보겠습니다.

금리가 1%에서 12%로 열 배 넘게 바뀌는 동안, R × t는 약 70에서 73 사이에 머뭅니다. 즉 R × t ≈ (거의 일정한 수)이고, 이것을 t에 대해 정리하면 t ≈ (일정한 수) ÷ R이라는 규칙이 나옵니다. 72의 법칙의 정체가 바로 이것입니다.

표를 자세히 보면 R × t는 금리가 커질수록 조금씩 커집니다. 그래서 하나의 수로 모든 금리를 완벽하게 맞출 수는 없고, 어느 금리 구간에 맞출지를 정해야 합니다.

④ 그런데 왜 하필 72일까?

우선 현실의 금리 구간에서 가장 정확합니다. 표에서 R × t는 R = 8%일 때 72.1로, 72와 거의 같습니다. 예금, 대출, 주식의 장기 수익률처럼 사람들이 흔히 따지는 5~10% 구간에서 72가 가장 오차가 작습니다.

게다가 나눗셈이 편리합니다. 72는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72로 나누어떨어지는 약수가 많은 수입니다. 71이나 73으로는 암산이 거의 불가능하지만, 72는 대부분의 금리로 깔끔하게 나누어집니다.

정리하면, 금리가 낮을 때(2% 안팎)는 70의 법칙, 5~12% 구간에서는 72의 법칙이 더 잘 맞습니다.

⑤ 생활 속으로 확장해 보기

물가가 오르면 돈의 가치는 언제 반이 될까?

물가 상승률이 연 2%라면 물가가 두 배가 되는 데 약 72 ÷ 2 = 36년(정확히는 35년)이 걸립니다. 같은 돈으로 살 수 있는 물건이 절반이 된다는 뜻이니, 현금의 실질 가치가 반으로 줄어드는 기간이기도 합니다.

세 배가 되는 기간은? (114의 법칙)

같은 방법으로 (1 + r)^t = 3 을 풀면 t = log 3 ÷ log(1 + r) 입니다. 이번에도 R × t를 계산해 보면 4%에서 112.0, 6%에서 113.1, 8%에서 114.2, 10%에서 115.3으로 거의 일정합니다. 그래서 세 배가 되는 기간 ≈ 114 ÷ R이라는 규칙을 만들 수 있습니다. 연 8%라면 114 ÷ 8 ≈ 14.25년, 정확한 값은 14.27년입니다.

⑥ 탐구 보고서·세특 주제로 확장하는 방법

이 주제는 지수방정식과 로그를 실제 경제 문제에 적용하기 때문에 탐구 주제로 활용하기 좋습니다. 아래처럼 확장해 볼 수 있습니다.

• 오차 분석: 엑셀이나 파이썬으로 R = 1~30%에 대해 정확한 값과 70, 72 법칙의 오차를 그래프로 그리고, 각 규칙이 가장 정확한 구간을 찾아보기
• 나만의 규칙 만들기: 금리 구간별로 오차를 최소로 만드는 수를 직접 구해 보고, 4배가 되는 기간(144의 법칙)도 같은 방법으로 확인하기
• 이자 붙는 횟수 바꾸기: 연 1회 복리, 월 복리, 일 복리로 바꿀 때 두 배가 되는 기간이 어떻게 줄어드는지 비교하기
• 다른 분야 적용: 인구 증가율, 바이러스 증식, 방사성 동위원소의 반감기처럼 "두 배" 또는 "절반"이 되는 기간을 구하는 문제로 연결하기

로그가 우리 감각과 어떻게 연결되는지 궁금하다면 이전 글 로그를 활용한 베버-페히너 법칙 탐구도 함께 읽어 보세요.

마무리

72의 법칙은 단순한 암산 요령처럼 보이지만, 그 안에는 지수방정식, 로그, 근사와 오차라는 고등학교 수학의 핵심이 들어 있습니다. 숫자 하나를 왜 그렇게 정했는지 따져 보는 것만으로도 훌륭한 경제 수학 탐구가 됩니다.

※ 이 글은 수학적 원리를 설명하기 위한 글이며, 특정 금융 상품의 투자 권유가 아닙니다.

코코(Coco) - 2017

스토리와 약간의 반전이 예상이 가지만 눈물이 나오는 영화.

사람은 무엇으로 살며, 어떻게 살아야 할지에 대한 고민을 던져준 영화라 생각된다.

물론 양 극단은 무엇이든 옳지 않다.

거짓되게 모두에게 기억되는 삶.

진실되게 아무에게도 기억되지 않는 삶.

나를 사랑하는 사람이 살아 있는 동안 날 기억해 주기를.

그리고 우리의 삶 뒤에 행복한 모두를 만날 수 있기를.

라이온 킹(Lion King) - 1994 재시청

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멋진 초원의 영상미와 OST는 지금 봐도 멋지다.

아마 몇 년 후에 다시 봐도 영상미와 OST는 좋은 평가를 받을 것이라 생각한다.

이런 것을 보면 고전 또는 명작이라 불리며 몇 백년 이상 가치를 인정받는 작품의 가치에 대해 다시 한 번 생각하게 된다.

지금 보니 스토리는 약간 구 시대적인 부분이 많이 남아 있다는 생각이 들었다.

왕위를 물려 받는다는 점, 정의와 악의 극명한 대립, 부모의 것을 그대로 가지고 태어나는 자식 등등

하지만 이야기의 배경이 동물의 왕국이니 오히려 저러한 구시대 적인 배경이 더 적합할 것이라 생각한다.

주토피아 같은 세상이 오히려 더 힘든 것 아닐까?

아이와 함께 봤는데 아이도 오랜 시간 기억이 나는 것 같다. 몇 일이 지난 시간에도 가끔 라이온 킹 이야기를 하는 것을 보면.

고등학교 수학으로 탐구하는 생명과학의 다인자 유전

#1 다항식 계산, 확률과 통계의 조합, 정규분포와 다인자 유전

다인자 유전학이란

다인자 유전의 예시

여기에 사용되는 다양한 수학 기법들

다양한 질병들과 다인자 유전학

다인자 유전이란

정의 설명

멘델의 유전법칙을 배웠습니다.

우열의 원리(우열의 법칙에서 원리로 변경 why? 분홍색 꽃 때문)

분리의 법칙

독립의 법칙

다인자 유전(다원성 유전)은 하나의 특성이 여러 개의 유전자에 의해 결정되는 현상을 말합니다. 이는 단일 유전자의 영향만으로 설명되기 어려운 복잡한 현상들을 이해하는 데 도움이 됩니다.

실제 우리 주변에 발현되는 다양한 현상은 단순 요인으로 발생하지 않습니다.

예를 들어 보겠습니다.

피부색이 3가지 대립되는 유전형질로 다양한 표현형을 가집니다.

여기서 다인자 유전으로 연속되는 형태를 가진다고 합시다.

대립 형질 중 대문자가 어두운 피부색 소문자가 밝은 피부색이라고 합시다.

그리고 대문자가 우성이라고 하겠습니다.

물론 실제 피부색을 결정하는 유전인자는 3쌍 이상일 것입니다.

여기서는 설명을 위해 간략히 다룹니다.

일단 이해를 위해 나열하겠습니다.

Aa

Bb

Cc

1단계 매우 어두운 피부 AABBCC

2단계 어두운 피부 aABBCC, AaBBCC, AAbBCC, AABbCC, AABBcC, AABBCc

3단계 약간 어두운 피부 aaBBCC, aAbBCC, aABbCC, aABBcC, aABBCc, AabBCC, AaBbCC, AaBBcC, AaBBCc, AAbbCC, AAbBcC, AAbBCc, AABbcC, AABbCc, AABBcc

4단계 중간 피부 aabBCC, aaBbCC, aaBBcC, aaBBCc, aAbbCC, aAbBcC, aAbBCc, aABbcC, aABbCc, aABBcc, AabbCC, AabBcC, AabBCc, AaBbcC, AaBbCc, AaBBcc, AAbbcC, AAbbCc, AAbBcc, AABbcc

5단계 약간 밝은 피부 aabbCC, aabBcC, aabBCc, aaBbcC, aaBbCc, aaBBcc, aAbbcC, aAbbCc, aAbBcc, aABbcc, AabbcC, AabbCc, AabBcc, AaBbcc, AAbbcc

6단계 밝은 피부 aabbcC, aabbCc, aabBcc, aaBbcc, aAbbcc, Aabbcc

7단계 매우 밝은 피부 aabbcc

전체 유전 형질이 조합이 되는 전체 경우의 수는 64가지 이며, 이를 바탕으로 7가지 표현형이 나옵니다.

일단 전체가 64개가 되는 이유는 간단합니다.

우리는 6개의 유전자의 자리에 우성인자(대문자)와 열성인자(소문자)중 하나를 선택합니다.

즉, 2x2x2x2x2x2= 2^6 = 64입니다.

이제 여기에 다양한 수학적 기법을 사용해서 해당 내용을 분석해 보겠습니다.

먼저 고등학교 1학년 수준으로 다항식을 기반으로 해당 내용을 분석해 보겠습니다.

위의 내용은 사람이 결국 6개의 피부색 관련 유전 인자를 가지고 여섯 개의 유전 인자 중 몇 개가 우성(대문자)인지에 따라 피부색의 밝기가 결정되는 모양새입니다.

여기서 중요한건 어떤 유전인자인지는 중요하지 않습니다. 즉, 문자의 캐릭터 A, B, C는 중요하지 않다는 겁니다.

AABbcc나 AaBbCc나 모두 같은 피부색을 가진다는 것입니다.

이를 다항식으로 살펴 보겠습니다.

간단한 다항식 모델을 보겠습니다.

=(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)입니다.

이를 우리가 실제 나열하면서 그 결과를 구한다고 합시다.

그렇다면 우린 하나의 괄호 안에서 하나의 문자만 선택합니다.

결과 값을 살펴보면, 아래와 같습니다.

위 식에서 x에 관한 6차 항은 즉 x의 6제곱은 다항식의 곱셉의 각 괄호에서 x만 계속 선택해서 x만 여섯 번을 선택한 경우입니다.

마찬가지로 x에 관한 5차 항은 x를 다섯 번 선택하고 한번은 x가 아닌 1을 선택해서 곱했다는 뜻이죠.

첫 번째 괄호에서 1을 택하는 방법, 두 번째 괄호에서 1을 택하는 방법, .... ,마지마 번째 괄호에서 1을 택하는 방법까지 총 6가지가 존재합니다.

즉 x의 5제곱은 6개가 되고, 때문에 위 식의 x의 5차항의 계수는 6이 됩니다.

이제 위 다항식을 이렇게 바꿔 써 보겠습니다.

(A+a)(A+a)(B+b)(B+b)(C+c)(C+c)

하나의 항만 구해 보겠습니다.

첫 번째 괄호에서 A를 선택, 두 번째 괄호에서 a선택, 이후 B, B, C, c를 선택해서 곱했다고 하겠습니다.

그러면 그 결과는 AaBBCc가 나올 것입니다. 우리가 위에서 나열한 것 중에 하나가 나옵니다.

 

감이 좀 잡히시죠?

이제 합쳐 봅시다. 분명 문자의 종류는 상관없다고 했습니다.

그렇다면 위의 다항식을

(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)로 표현해서 얻은 결과

는 (A+a)(A+a)(B+b)(B+b)(C+c)(C+c)를 계산해서 얻은 결과와 같은 것을 말해준다는 것을 알 수 있습니다.

그리고 이는 사실

으로 나온

위 식과 같은 내용을 설명할 수 있습니다.

 

이미 눈치채셨겠지만, 우리가 각 표현형이 나오는 경우의 수와 다항식의 계수가 일치합니다.

또한 표현형의 종류가 항의 개수와 일치하게 됩니다.

 

만약 확률과 통계의 조합을 배웠다면 다항식의 계수를 조합을 통해 구할 수 있다는 것을 알고 있을 것이고

위 설명을 조합으로 이해 및 표현 할 수 있을 것입니다.

그리고 반대의 생각도 가능 할 것입니다. 특정한 표현형이 정규분포를 이루고 있다면 이를 다인자 유전으로 해석해 볼 수도 있으 ㄹ것비니다.

이를 통해서 특정 유전형의 연구를 다항식의 계산, 통계적 기법을 통해 예측해 볼 수 있으며,

만약 빅데이터를 통해 특정 표현형의 비, 분포를 알 수 있다면

해당 표현에 영향을 끼치는 유전자 쌍의 개수를 추측해 보는 것이 가능할 수도 있습니다.

 

다만,
다인자 유전은 유전적 변이와 환경 요인의 복합적인 영향을 통해 나타납니다. 예를 들어, 심혈관 질환, 당뇨병, 고혈압과 같은 복잡한 질환은 여러 유전자와 환경적 요인의 조합으로 발생하는 경우가 많습니다. 이러한 복잡한 질환은 하나의 유전자 변이만으로는 설명되기 어렵고, 다양한 유전자 간의 조합과 상호작용, 그리고 환경적인 요인들이 복합적으로 작용하여 발생하는 것이 특징입니다.

 

다 많은 요소를 복학접으로 생각하려면 더 좋은 모델을 구축해야 할 것이고 위의 방법은 그 기초를 제공 할 수 있을 것입니다.

 

\롤라 런(1999) - 톰 티크베어

처음부터 이 영화가 일종의 롤라의 게임이라는 것을 말해주는 것 같았다. 규칙과 제한시간이 정해져 있는 축구처럼. 영화는 롤라가 20분 안에 자신의 남자친구 문제를 해결하려 달리는 과정이다.

그 과정에서 가망성이 전혀 없는 방법을 시도하기도 하고, 파멸에 이르기도 한다. 그런데 영화를 보면 사람들과 부딪히고 스칠 때마다 사람들의 미래를 조금씩 보여준다. 이러한 장면은 롤라와의 마주침이 조금이라도 변하면 다른 미래가 펼쳐진다. 우리가 익히 알고 있는 나비효과라는 말처럼. 그 내용을 명확하게 보여주지는 않는다.

연출이 굉장히 재밌다. 엄마가 보고 있는 티비 화면으로 전환되는 장면에서 독특한 연출과 애니메이션 컷 신 장면이 인상 깊다. 또 영화의 전체적인 색감, 사진으로만 표현되는 장면들이 보인다.

롤라가 뛰어가는 장면에서 부랑자와 스쳐 지나가는 장면이 보이는데 여기서 사건 해결에 실마리가 있을 것만 같았다.

영화는 초반부터 롤라가 평범하지 않은 사람이라는 사실을 보여준다. 양철북처럼 소리를 지르면 유리가 깨지는 연출, 수화기를 던져서 정확하게 안착되는 장면 등.

영화의 전체적인 음악이 롤라가 뛰는 장면과 가장 잘 어울렸다. 다만, 첫 번째 상황에서 가장 급박한 도망 장면에서 평온한 음악이 나와 이질감이 느껴졌는데, 이 역시 감독의 의도 중 하나라고 생각된다.

모든 것이 맞물려서 돌아갈 느낌이 들어서 어떻게 풀어낼지 너무 기대되었다.

영화는 무의미해 보일지 모르는 온몸 비틀기의 노력이 결코 무의미 하지 않다고 말해주는 것 같았다. 이러한 노력이 합쳐져서 롤라는 결국 남자친구가 스스로 문제를 해결하도록 만들고 보너스까지 얻는다.

가끔 내 의지와 노력이 무의미해 보일지 모르겠지만 이 모든 몸부림이 나에게 긍정적으로 돌아오길 빌어 본다.

참고로 그 남자 친구는 정말 매력적인 사람인가 보다. 부럽습니다. 두 번째 시간 역행도 결국 보인이 은행털이를 한 것 때문이 아닌 남자 친구가 사망했기 때문에 돌린 것으로 보인다.