학업 선택 반향(SRC)

은행이나 증권사 광고에서 "연 8%면 9년 만에 두 배"라는 말을 본 적이 있을 겁니다. 이 계산 뒤에는 72의 법칙이라는 간단한 공식이 있습니다. 이번 글에서는 이 공식이 왜 성립하는지 고등학교 지수·로그로 직접 확인해 보고, 탐구 보고서나 세특 주제로 확장하는 방법까지 정리해 보겠습니다.

주요단어: 72의 법칙, 복리, 경제, 경제 수학, 지수함수, 로그함수, 근사, 생활 속 수학

① 72의 법칙이란?

연 이율이 R%인 복리 상품에 돈을 넣었을 때, 원금이 두 배가 되는 데 걸리는 기간(년)은 대략 다음과 같습니다.

원금이 두 배가 되는 기간 ≈ 72 ÷ R

예를 들어 연 6%라면 72 ÷ 6 = 12년, 연 8%라면 72 ÷ 8 = 9년입니다. 계산기 없이 암산할 수 있다는 것이 이 법칙의 가장 큰 장점입니다.

② 정확한 식부터 세워 보자 (지수·로그)

100만 원을 연 8% 복리로 맡겼다고 해 봅시다. 1년 뒤에는 원금에 이자 8%가 붙습니다.

1년 뒤: 100만 + (100만 × 0.08) = 100만 + 8만 = 108만 원

이 식은 100만 × (1 + 0.08) = 100만 × 1.08 과 같습니다. 즉 1년이 지날 때마다 금액에 1.08을 곱하는 셈입니다. 복리는 이자에도 이자가 붙으므로, 2년 뒤에는 108만 원에 다시 1.08을 곱합니다.

2년 뒤: 108만 + (108만 × 0.08) = 108만 + 8만 6,400 = 116만 6,400원 = 100만 × 1.08²
3년 뒤: 100만 × 1.08³ = 125만 9,712원
t년 뒤: 100만 × 1.08^t

원금이 두 배, 즉 200만 원이 되는 순간을 찾으려면 100만 × 1.08^t = 200만, 양변을 100만으로 나누면

1.08^t = 2

를 풀면 됩니다. 원금이 100만 원이든 1,000만 원이든 양변에서 나누어 사라지므로, 두 배가 되는 기간은 원금과 상관없이 금리만으로 정해집니다.

이제 1.08^t = 2 를 한 단계씩 풀어 보겠습니다.

1. 양변에 상용로그를 취합니다.   log 1.08^t = log 2
2. 로그의 성질 log aⁿ = n·log a 를 이용해 지수 t를 앞으로 꺼냅니다.   t × log 1.08 = log 2
3. 양변을 log 1.08로 나눕니다.   t = log 2 ÷ log 1.08
4. 값을 넣어 계산합니다. 상용로그표(또는 계산기)에서 log 2 ≈ 0.3010, log 1.08 ≈ 0.0334 이므로   t ≈ 0.3010 ÷ 0.0334 ≈ 9.01년

정말 9년쯤 지나면 두 배가 되는지 직접 확인해 봅시다. 100만 × 1.08⁹ ≈ 199만 9,005원으로 200만 원에 아주 조금 못 미치고, 100만 × 1.08¹⁰ ≈ 215만 8,925원으로 200만 원을 넘습니다. 그러니 두 배가 되는 시점은 9년을 아주 조금 넘긴 때이고, 계산 결과 9.01년과 딱 맞습니다. 72의 법칙으로 계산한 72 ÷ 8 = 9년과도 거의 같습니다.

같은 과정을 연 이율 r(8%면 r = 0.08)에 대해 일반화하면 (1 + r)^t = 2 에서

t = log 2 ÷ log(1 + r)

이 되고, 이것이 두 배가 되는 기간의 정확한 값입니다.

하지만 log 1.08 같은 값은 상용로그표나 계산기 없이는 구하기 어렵습니다. 그래서 "금리만 알면 바로 계산되는" 간단한 규칙이 필요합니다.

③ 금리 × 기간은 거의 일정하다

여러 금리에 대해 정확한 기간 t를 계산하고, 금리 R(%)과 곱해 보겠습니다.

금리가 1%에서 12%로 열 배 넘게 바뀌는 동안, R × t는 약 70에서 73 사이에 머뭅니다. 즉 R × t ≈ (거의 일정한 수)이고, 이것을 t에 대해 정리하면 t ≈ (일정한 수) ÷ R이라는 규칙이 나옵니다. 72의 법칙의 정체가 바로 이것입니다.

표를 자세히 보면 R × t는 금리가 커질수록 조금씩 커집니다. 그래서 하나의 수로 모든 금리를 완벽하게 맞출 수는 없고, 어느 금리 구간에 맞출지를 정해야 합니다.

④ 그런데 왜 하필 72일까?

첫째, 현실의 금리 구간에서 가장 정확합니다. 표에서 R × t는 R = 8%일 때 72.1로, 72와 거의 같습니다. 예금, 대출, 주식의 장기 수익률처럼 사람들이 흔히 따지는 5~10% 구간에서 72가 가장 오차가 작습니다.

둘째, 나눗셈이 편리합니다. 72는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72로 나누어떨어지는 약수가 많은 수입니다. 71이나 73으로는 암산이 거의 불가능하지만, 72는 대부분의 금리로 깔끔하게 나누어집니다.

정리하면, 금리가 낮을 때(2% 안팎)는 70의 법칙, 5~12% 구간에서는 72의 법칙이 더 잘 맞습니다.

⑤ 생활 속으로 확장해 보기

물가가 오르면 돈의 가치는 언제 반이 될까?

물가 상승률이 연 2%라면 물가가 두 배가 되는 데 약 72 ÷ 2 = 36년(정확히는 35년)이 걸립니다. 같은 돈으로 살 수 있는 물건이 절반이 된다는 뜻이니, 현금의 실질 가치가 반으로 줄어드는 기간이기도 합니다.

세 배가 되는 기간은? (114의 법칙)

같은 방법으로 (1 + r)^t = 3 을 풀면 t = log 3 ÷ log(1 + r) 입니다. 이번에도 R × t를 계산해 보면 4%에서 112.0, 6%에서 113.1, 8%에서 114.2, 10%에서 115.3으로 거의 일정합니다. 그래서 세 배가 되는 기간 ≈ 114 ÷ R이라는 규칙을 만들 수 있습니다. 연 8%라면 114 ÷ 8 ≈ 14.25년, 정확한 값은 14.27년입니다.

⑥ 탐구 보고서·세특 주제로 확장하는 방법

이 주제는 지수방정식과 로그를 실제 경제 문제에 적용하기 때문에 탐구 주제로 활용하기 좋습니다. 아래처럼 확장해 볼 수 있습니다.

• 오차 분석: 엑셀이나 파이썬으로 R = 1~30%에 대해 정확한 값과 70, 72 법칙의 오차를 그래프로 그리고, 각 규칙이 가장 정확한 구간을 찾아보기
• 나만의 규칙 만들기: 금리 구간별로 오차를 최소로 만드는 수를 직접 구해 보고, 4배가 되는 기간(144의 법칙)도 같은 방법으로 확인하기
• 이자 붙는 횟수 바꾸기: 연 1회 복리, 월 복리, 일 복리로 바꿀 때 두 배가 되는 기간이 어떻게 줄어드는지 비교하기
• 다른 분야 적용: 인구 증가율, 바이러스 증식, 방사성 동위원소의 반감기처럼 "두 배" 또는 "절반"이 되는 기간을 구하는 문제로 연결하기

로그가 우리 감각과 어떻게 연결되는지 궁금하다면 이전 글 로그를 활용한 베버-페히너 법칙 탐구도 함께 읽어 보세요.

마무리

72의 법칙은 단순한 암산 요령처럼 보이지만, 그 안에는 지수방정식, 로그, 근사와 오차라는 고등학교 수학의 핵심이 들어 있습니다. 숫자 하나를 왜 그렇게 정했는지 따져 보는 것만으로도 훌륭한 경제 수학 탐구가 됩니다.

※ 이 글은 수학적 원리를 설명하기 위한 글이며, 특정 금융 상품의 투자 권유가 아닙니다.

코코(Coco) - 2017

스토리와 약간의 반전이 예상이 가지만 눈물이 나오는 영화.

사람은 무엇으로 살며, 어떻게 살아야 할지에 대한 고민을 던져준 영화라 생각된다.

물론 양 극단은 무엇이든 옳지 않다.

거짓되게 모두에게 기억되는 삶.

진실되게 아무에게도 기억되지 않는 삶.

나를 사랑하는 사람이 살아 있는 동안 날 기억해 주기를.

그리고 우리의 삶 뒤에 행복한 모두를 만날 수 있기를.

라이온 킹(Lion King) - 1994 재시청

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멋진 초원의 영상미와 OST는 지금 봐도 멋지다.

아마 몇 년 후에 다시 봐도 영상미와 OST는 좋은 평가를 받을 것이라 생각한다.

이런 것을 보면 고전 또는 명작이라 불리며 몇 백년 이상 가치를 인정받는 작품의 가치에 대해 다시 한 번 생각하게 된다.

지금 보니 스토리는 약간 구 시대적인 부분이 많이 남아 있다는 생각이 들었다.

왕위를 물려 받는다는 점, 정의와 악의 극명한 대립, 부모의 것을 그대로 가지고 태어나는 자식 등등

하지만 이야기의 배경이 동물의 왕국이니 오히려 저러한 구시대 적인 배경이 더 적합할 것이라 생각한다.

주토피아 같은 세상이 오히려 더 힘든 것 아닐까?

아이와 함께 봤는데 아이도 오랜 시간 기억이 나는 것 같다. 몇 일이 지난 시간에도 가끔 라이온 킹 이야기를 하는 것을 보면.

고등학교 수학으로 탐구하는 생명과학의 다인자 유전

#1 다항식 계산, 확률과 통계의 조합, 정규분포와 다인자 유전

다인자 유전학이란

다인자 유전의 예시

여기에 사용되는 다양한 수학 기법들

다양한 질병들과 다인자 유전학

다인자 유전이란

정의 설명

멘델의 유전법칙을 배웠습니다.

우열의 원리(우열의 법칙에서 원리로 변경 why? 분홍색 꽃 때문)

분리의 법칙

독립의 법칙

다인자 유전(다원성 유전)은 하나의 특성이 여러 개의 유전자에 의해 결정되는 현상을 말합니다. 이는 단일 유전자의 영향만으로 설명되기 어려운 복잡한 현상들을 이해하는 데 도움이 됩니다.

실제 우리 주변에 발현되는 다양한 현상은 단순 요인으로 발생하지 않습니다.

예를 들어 보겠습니다.

피부색이 3가지 대립되는 유전형질로 다양한 표현형을 가집니다.

여기서 다인자 유전으로 연속되는 형태를 가진다고 합시다.

대립 형질 중 대문자가 어두운 피부색 소문자가 밝은 피부색이라고 합시다.

그리고 대문자가 우성이라고 하겠습니다.

물론 실제 피부색을 결정하는 유전인자는 3쌍 이상일 것입니다.

여기서는 설명을 위해 간략히 다룹니다.

일단 이해를 위해 나열하겠습니다.

Aa

Bb

Cc

1단계 매우 어두운 피부 AABBCC

2단계 어두운 피부 aABBCC, AaBBCC, AAbBCC, AABbCC, AABBcC, AABBCc

3단계 약간 어두운 피부 aaBBCC, aAbBCC, aABbCC, aABBcC, aABBCc, AabBCC, AaBbCC, AaBBcC, AaBBCc, AAbbCC, AAbBcC, AAbBCc, AABbcC, AABbCc, AABBcc

4단계 중간 피부 aabBCC, aaBbCC, aaBBcC, aaBBCc, aAbbCC, aAbBcC, aAbBCc, aABbcC, aABbCc, aABBcc, AabbCC, AabBcC, AabBCc, AaBbcC, AaBbCc, AaBBcc, AAbbcC, AAbbCc, AAbBcc, AABbcc

5단계 약간 밝은 피부 aabbCC, aabBcC, aabBCc, aaBbcC, aaBbCc, aaBBcc, aAbbcC, aAbbCc, aAbBcc, aABbcc, AabbcC, AabbCc, AabBcc, AaBbcc, AAbbcc

6단계 밝은 피부 aabbcC, aabbCc, aabBcc, aaBbcc, aAbbcc, Aabbcc

7단계 매우 밝은 피부 aabbcc

전체 유전 형질이 조합이 되는 전체 경우의 수는 64가지 이며, 이를 바탕으로 7가지 표현형이 나옵니다.

일단 전체가 64개가 되는 이유는 간단합니다.

우리는 6개의 유전자의 자리에 우성인자(대문자)와 열성인자(소문자)중 하나를 선택합니다.

즉, 2x2x2x2x2x2= 2^6 = 64입니다.

이제 여기에 다양한 수학적 기법을 사용해서 해당 내용을 분석해 보겠습니다.

먼저 고등학교 1학년 수준으로 다항식을 기반으로 해당 내용을 분석해 보겠습니다.

위의 내용은 사람이 결국 6개의 피부색 관련 유전 인자를 가지고 여섯 개의 유전 인자 중 몇 개가 우성(대문자)인지에 따라 피부색의 밝기가 결정되는 모양새입니다.

여기서 중요한건 어떤 유전인자인지는 중요하지 않습니다. 즉, 문자의 캐릭터 A, B, C는 중요하지 않다는 겁니다.

AABbcc나 AaBbCc나 모두 같은 피부색을 가진다는 것입니다.

이를 다항식으로 살펴 보겠습니다.

간단한 다항식 모델을 보겠습니다.

=(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)입니다.

이를 우리가 실제 나열하면서 그 결과를 구한다고 합시다.

그렇다면 우린 하나의 괄호 안에서 하나의 문자만 선택합니다.

결과 값을 살펴보면, 아래와 같습니다.

위 식에서 x에 관한 6차 항은 즉 x의 6제곱은 다항식의 곱셉의 각 괄호에서 x만 계속 선택해서 x만 여섯 번을 선택한 경우입니다.

마찬가지로 x에 관한 5차 항은 x를 다섯 번 선택하고 한번은 x가 아닌 1을 선택해서 곱했다는 뜻이죠.

첫 번째 괄호에서 1을 택하는 방법, 두 번째 괄호에서 1을 택하는 방법, .... ,마지마 번째 괄호에서 1을 택하는 방법까지 총 6가지가 존재합니다.

즉 x의 5제곱은 6개가 되고, 때문에 위 식의 x의 5차항의 계수는 6이 됩니다.

이제 위 다항식을 이렇게 바꿔 써 보겠습니다.

(A+a)(A+a)(B+b)(B+b)(C+c)(C+c)

하나의 항만 구해 보겠습니다.

첫 번째 괄호에서 A를 선택, 두 번째 괄호에서 a선택, 이후 B, B, C, c를 선택해서 곱했다고 하겠습니다.

그러면 그 결과는 AaBBCc가 나올 것입니다. 우리가 위에서 나열한 것 중에 하나가 나옵니다.

 

감이 좀 잡히시죠?

이제 합쳐 봅시다. 분명 문자의 종류는 상관없다고 했습니다.

그렇다면 위의 다항식을

(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)(A+a)로 표현해서 얻은 결과

는 (A+a)(A+a)(B+b)(B+b)(C+c)(C+c)를 계산해서 얻은 결과와 같은 것을 말해준다는 것을 알 수 있습니다.

그리고 이는 사실

으로 나온

위 식과 같은 내용을 설명할 수 있습니다.

 

이미 눈치채셨겠지만, 우리가 각 표현형이 나오는 경우의 수와 다항식의 계수가 일치합니다.

또한 표현형의 종류가 항의 개수와 일치하게 됩니다.

 

만약 확률과 통계의 조합을 배웠다면 다항식의 계수를 조합을 통해 구할 수 있다는 것을 알고 있을 것이고

위 설명을 조합으로 이해 및 표현 할 수 있을 것입니다.

그리고 반대의 생각도 가능 할 것입니다. 특정한 표현형이 정규분포를 이루고 있다면 이를 다인자 유전으로 해석해 볼 수도 있으 ㄹ것비니다.

이를 통해서 특정 유전형의 연구를 다항식의 계산, 통계적 기법을 통해 예측해 볼 수 있으며,

만약 빅데이터를 통해 특정 표현형의 비, 분포를 알 수 있다면

해당 표현에 영향을 끼치는 유전자 쌍의 개수를 추측해 보는 것이 가능할 수도 있습니다.

 

다만,
다인자 유전은 유전적 변이와 환경 요인의 복합적인 영향을 통해 나타납니다. 예를 들어, 심혈관 질환, 당뇨병, 고혈압과 같은 복잡한 질환은 여러 유전자와 환경적 요인의 조합으로 발생하는 경우가 많습니다. 이러한 복잡한 질환은 하나의 유전자 변이만으로는 설명되기 어렵고, 다양한 유전자 간의 조합과 상호작용, 그리고 환경적인 요인들이 복합적으로 작용하여 발생하는 것이 특징입니다.

 

다 많은 요소를 복학접으로 생각하려면 더 좋은 모델을 구축해야 할 것이고 위의 방법은 그 기초를 제공 할 수 있을 것입니다.

 

\롤라 런(1999) - 톰 티크베어

처음부터 이 영화가 일종의 롤라의 게임이라는 것을 말해주는 것 같았다. 규칙과 제한시간이 정해져 있는 축구처럼. 영화는 롤라가 20분 안에 자신의 남자친구 문제를 해결하려 달리는 과정이다.

그 과정에서 가망성이 전혀 없는 방법을 시도하기도 하고, 파멸에 이르기도 한다. 그런데 영화를 보면 사람들과 부딪히고 스칠 때마다 사람들의 미래를 조금씩 보여준다. 이러한 장면은 롤라와의 마주침이 조금이라도 변하면 다른 미래가 펼쳐진다. 우리가 익히 알고 있는 나비효과라는 말처럼. 그 내용을 명확하게 보여주지는 않는다.

연출이 굉장히 재밌다. 엄마가 보고 있는 티비 화면으로 전환되는 장면에서 독특한 연출과 애니메이션 컷 신 장면이 인상 깊다. 또 영화의 전체적인 색감, 사진으로만 표현되는 장면들이 보인다.

롤라가 뛰어가는 장면에서 부랑자와 스쳐 지나가는 장면이 보이는데 여기서 사건 해결에 실마리가 있을 것만 같았다.

영화는 초반부터 롤라가 평범하지 않은 사람이라는 사실을 보여준다. 양철북처럼 소리를 지르면 유리가 깨지는 연출, 수화기를 던져서 정확하게 안착되는 장면 등.

영화의 전체적인 음악이 롤라가 뛰는 장면과 가장 잘 어울렸다. 다만, 첫 번째 상황에서 가장 급박한 도망 장면에서 평온한 음악이 나와 이질감이 느껴졌는데, 이 역시 감독의 의도 중 하나라고 생각된다.

모든 것이 맞물려서 돌아갈 느낌이 들어서 어떻게 풀어낼지 너무 기대되었다.

영화는 무의미해 보일지 모르는 온몸 비틀기의 노력이 결코 무의미 하지 않다고 말해주는 것 같았다. 이러한 노력이 합쳐져서 롤라는 결국 남자친구가 스스로 문제를 해결하도록 만들고 보너스까지 얻는다.

가끔 내 의지와 노력이 무의미해 보일지 모르겠지만 이 모든 몸부림이 나에게 긍정적으로 돌아오길 빌어 본다.

참고로 그 남자 친구는 정말 매력적인 사람인가 보다. 부럽습니다. 두 번째 시간 역행도 결국 보인이 은행털이를 한 것 때문이 아닌 남자 친구가 사망했기 때문에 돌린 것으로 보인다.

파니 핑크(아무도 날 사랑하지 않아)(1995)

죽음을 체험하는 동호회 활동을 보며 개인적으로 신기했다.

우리의 삶은 어디에서 행복을 느끼는 것인가?

오르페오는 사실 사기꾼이지만 파니 핑크에게는 특별한 인연이 되었다.

연인 관계는 주변에서 함부로 말하기가 어려운 이용

서로만이 이해할 수 있는 무언가가 생기기도 한다.

엘리베이터 상황을 보면 우리가 만남을 통해 취향이 늘어나고 폭이 넓이지고, 새로운 경험을 배우기도 한다.

운명적인 사랑이 아니라 일상을 공유하고 대화할 상대(사랑이 아니라 스몰 토크할 사람)

오늘 날씨가 좋아. 오늘은 치킨이 땡기네

영원함 만이 우리가 추구해야할 것인가?

관계와 만남을 통해서 성장한다. 그리고 우리는 좀 더 적극적이고 밝은 가치관을 가지고 그것을 이끌어 나갈 필요가 있다.

타인의 삶

사람에 따라 과연 주인공이 이렇게 쉽게 감화될 수 있는가에 대한 의문이 생길 수 있다. 다만 영화에서는 예술과 사랑이라는 이름으로 감화되었음을 이야기하고 있다.

도청은 하나의 소재일 수도 있다는 생각이다.

(물론 명백한 범죄 행위이다.)

아이유와 이선균이 출연한 ‘나의 아저씨’ 에서도 도청을 소재로 한다. 도청하는 사람들이 처음에는 나쁜 목적을 가지고 도청을 시작한다. 하지만 도청을 통해 상대방에 대해 깊이 알게되고 점점 스며들어 간다. 그러면서 도청 대상에세 감화된다.

사람은 만남을 통해 사회 속에서 성장하는 부분이 있다고 생각한다. 도청이라는 만남은 다소 일방적인 만남이다. 하지만 덕분에 더 깊이 이해하게 되고 알게 된다. 온전하게 보여주고 온전하게 볼 수 있다. 물론 그러려면 그 사람이 기본적으로 좋은 사람이어야 하는 전제가 있다.

앎이란 위대하다. 알면 이해하게 되고 이해하면 그의 삶이 나에게 스며들어 타인의 삶이 내 삶과 겹치게 된다. 주인공이 여배우가 안아달라는 말에 스스로 안는 듯한 모습을 보이면 극작가와 여배우의 삶에 스며들었음을 보여 주었다.

추가로 주인공이 이들에게 감화되는 과정에는 자신의 욕망을 채우는 장관과 상관이자 친구에 대한 실망도 한몫했다.

개인적으로 영화의 엔딩이 굉장히 마음에 들었다. 최종적으로 책을 사며 ‘이 책은 나를 위한 것이다.’ 라는 말로 타인의 삶에 영향을 받은 스스로의 삶을 찾았음을 말해주는 것 같다.

타인의 삶은 또한 독일과 우리나라가 많이 닮아있다는 생각을 많이 했다. 지난 영화와 마찬가지로 이런 가슴 아픈 현실로 친숙함을 느끼게 되는 것이 안타깝다.

그런데 당시 독일은 그런것이 안좋다는 것을 모두가 알고 있었지만(아이가 슈타지는 나쁜 놈들이라고) 그런 사람을 길러대는 교육 시스템이 용인 되었던 것을 보면 현실은 영화보다 더 무서운 것 같다.

책을 먼저 읽고, 영화를 봐서 비교해서 작성해 보았다.

책보다 한나가 문맹이라는 사실이 더 빠르게 복선으로 드러난다.

또한 영화 속에서 한나가 남자 주인공과 여행 중 쪽지를 일부러 숨기고 화내는 연기를 하는 장면이 있는데 영화에서는 삭제된 듯하다,

영화가 좀 더 직접적으로 표현을 많이 한다.

이 영화는 우리 모두 진실을 알고 있으면서 모른척 외면해 왔고, 구 세대 모두 이러한 책임에서 자유로울 수 없다는 것을 말한다.

한나의 순지함을 악용하는 점이 더 잘 드러났다. 그들의 무신경한 표정, 뜨개질하는 모습 모두 스스로가 범죄자라는 자각이 없다. 이 상황에서 벗어날 효과적인 전략을 세운다.

주인공은 그녀를 과거에 알았냐는 질문을 부정한다.

범죄자 중 한 명과 관계를 맺었다는 사실에 대해 스스로 숨기려 한다.

편지를 쓰고 사인이 바뀌는 모습에서 그녀가 이제 글을 읽고 쓸수 있는 것임을 알 수 있다.

또한 가끔 자신의 의견을 적어 보낸는 것에서 어떤 사고의 발전이 이루어 진 것이라 생각한다.

주인공의 첫 번째 면회는 약간의 질책으로 여겨졌던 것일까?

어쩌면 그 책들은 유대인과 수용소에 관한 책들이 아니였을까?

차상자는 순수한 마음의 상징일까?

(도서, 책)더 리더 : 책 읽어주는 남자 - 베른하르트 슐링크

1,2,3부로 이루어져 있다.

1부는 한나와 주인공의 관계를 설명하는 장이다.

2부는 한나의 재판 장면이다.

책은 좀 더 모호하게 그린다. 마치 사랑 이야기를 누구도 명확하게 설명을 말할 수 없는 것철럼.

문맹이라는 것이 그리고 수치심을 느낄 만한 것이었을까?

주인공도 거기서 깨달았듯이

나도 작가의 의도와 마찬가지도 거기서 깨달았다.

가장 순수하게 인정한 사람만이 처벌을 받는 느낌이다.

진짜 나쁜 사람들은 오히려 더 간교하게 빠져나갔다.

위대한 국가와 고통받는 개인의 부분이 자주 보이는 영화 였다. 국가는 우주에 로켓을 날리고 있지만 주인공의 가정은 혼란 스럽기만 하다. 통일된 독인을 월드컵 우승을 차지하지만, 주인공은 여전히 혼란하고 복잡한 하루를 보내고 있다. 과연 주리 사회의 발전이 개인의 행복과 연결되는 것일까?

어머니는 아버지의 자본주의 탈출 이후 열성적인 사회주의자가 되었다. 그러나 그것은 진정한 사회주의작 아니라 자신과 자신의 아이들이 행복할 수 있는 길이였을 뿐이다.

우주비행사를 꿈꾸던 청년은 평범한 회사에서 일하는 모습이 보였다. 무엇이 저 아이를 변하게 했을까? 아니면 그 아이의 꿈과 무관하게 당시 동독은 국가가 지정한 곳에서 일을 하게 되는 시스템이었을까? 아이는 이후 시위에도 참여하는 모습을 보인다. 현실의 고통은 이상보다 가깝다는 생각이다.

지스문트 얜은 말한다 우주에서 보았더니 너무 작은 나라라고. 우리는 여기서 그런걸로 싸울때가 아니라고 말해주는 것 같다. 저 위에서 바라보면 그런 것 모두가 별볼일 없는 일이라고. 집이 너무 그러웠다고. 우리가 집중해야 될것은 먼 이사, 체제, 이념이 아니라 우리 집과 내 옆의 가족들이라고 말하는 것 같아서 좋았다.

코미디 이지만 마냥 웃을수 만은 없었다. 변화와 혼란이 고스란히 느껴졌기 때문에. 그리고 우리 나라의 특별한 현실과도 연결되어 있는 느낌이라.

어머니는 이미 알고 있었을 것 같다. 그것이 아들을 위해서 모른척 해주는 것이든 스스로 그것을 부정하는 것이든 상관없다. 다만 이해하고 포용한다. 가족의 마음에 관심을 가지고.

아버지와는 무슨 이야기를 했을까? 아마 모든 진실을 이야기하고 이제 완벽히 서로를 이해하는 대화가 이루어지지 않았을까?

최근 수학 교육 연구 동향을 간단하게 정리해 보자.

1. 수학 교육 연구에서 기술 도구의 사용을 이용한 연구의 발전

최근 컴퓨터 기술 및 인공지능, AI의 발전이 굉장이 빠르다. 이에 따라 수학교육을 연구하시는 교수님이나 학자, 교사들은 다양한 기술적 도구를 사용해 수학 교육 연구를 하고 있다. 이러한 연구로 인해 다양한 데이터를 수집할수 있고 이를 분석하여 더 좋은 교육을 제공할 수 있게 되었다. 

특히 퇴근에는 컴퓨터 기반 평가를 통한 자동적 자료수집, 온라인 설문 조사 기법, 비디오 녹화, 가상 및 증강 현실, 통계나 데이터 분석 프로그램들이 많이 사용된다.

2. 개념적 이해 및 역량의 중시

과거에는 수학 교육 연구는 일반적 지식 및 절차 지식의 습득을 중요시 했습니다. 이는 문제 해결을 위해 수학적 절차를 적용하는 것을 할 줄 알도록 만드는 능력을 말한다. 그러나 최근 몇 년 동안은 수학적 개념 이해로의 전환 및 수학적 역량의 성장을 중시한다. 이는 수학적 개념과 그들 사이의 관계를 이해하는 능력을 말한다.  이러한 변화로 인해 개념적 이해, 역량을 바탕으로 학생들이 성장하도록 평가 도구를 개발한다.

3. 교사의 전문성을 기르기 위한 활동 개발

과거와 마찬가지로 교사의 전문성 개발은 수학 교육의 질을 향상시키는 중요한 방법 가운데 하나다. 많은 수학교육 전문가들이 수학 교사를위한 다양한 전문성 개발 연수 및 해당 프로그램의 효과를 조사하고 있다. 개별 수업의 연구 활동, 코티칭이라 불리는 교과 융합 연구, 학생 코칭 및 멘토링 등의 활동이 개발 연구 되고 있다.

4. 다양성과 형평성의 고려

최근 다양성과 형평성은 수학 교육뿐만 아니라 모든 문야에서 고려해야 할 필수적 요소다. 학교 교육에서는 모든 학생들에게 결과적으로 수학 교육을 시행하기 위해 노력한다. 접근 가능성, 고교학점제 이후 보충학습을 통해 수학 학습 결과를 공평하게 만드는 방법을 연구하고 있다. 여기에는 성별, 문화, 접근성 등을 모두 고려한다.

5. 최종

수학 교육 연구는 기술적, 정의적으로 지속적으로 발전하고 있다. 기술의 발전, 개념과 역량의 중시, 교사 전문성, 다양성 및 형평성에 중점이 현재 트렌드라고 하나 이외에도 많은 수학 연구가 실시 되고 있다.