생명과학, 사회학 심리학 현상의 수학적 해석(로그를 활용한 베버 페히너 법칙 탐구)

로그를 활용한 베버 페히너 법칙 탐구(생명과학, 심리학, 사회학)

수학적 원리 -> 간단한 활용 -> 생명과학 뉴런의 입장 -> 사회학, 심리학적 입장으로 살펴 보겠습니다.

 

마지막에 유튜브 영상으로 만들었습니다. 영상으로 보실 분들은 유튜브로 가서 보세요.

주요단어: 수학, 로그, 활용, 베버, 페히너, 법칙, 감각, 자극, 진동, 비율, 상수

로그의 발전은 큰 수의 계산을 하기 위한 방안으로 처음 발생 했다.

별의 거리를 계산하는 것과 같이 큰수의 계산을 하는데 있어 로그의 활용은 절대적이였으며 

큰 수를 절대적인 양으로 계산 하는 것은 오히려 인지적인 부조화를 안겨 주었다.

로그는 필요에 의해서 생겨 났으나 신기하게도 우리의 인지(생명과학 또는 심리학, 사회학)에 정확하게 부합하는 모습을 보여 주었다.

먼저 베버 - 페히너의 법칙이 무엇인지 살펴보자.

① 베버-페히너 법칙(Weber-Fechner law)

 : 감각기가 자극 받은 정도의 변화를 느끼려면,  처음 자극 대비 일정 비율 이상의 자극을 받아야 된다.

위 법칙은 수학적 공리에서 출발한 증명이라고 볼 수는 없다. 그러나 해당 내용의 전개가 수학의 로그의 역할, 생명과학에서 자극의 수용과 역치, 심리학, 사회적 변화를 잘 설명해주는 모델이다.

때문에 몇몇 수학 가설이 증명을 못하였지만 다양한 과학 분야에서 사용하 듯이 그 가치가 있다고 생각되어 간단하게 살펴본다.

 

② 베버 상수와 베버의 법칙

동일한 무게의 구슬이 여러개 있다고 가정하자.

처음 9개의 구슬을 손에 든 무게 감각이 있을 때, 10개, 11개로 구슬의 수를 변화 했을 때, 무게감의 변화를 느끼지 못하다, 12개가 되는 순간 무게의 변화를 느꼈다고 하자.

이 때, 처음 무게를 I, 무게 변화를 느낀 나중 무게를 I'라 하면,

 

이 때, 베버 상수를 k라 하면 베버 상수 k는

따라서 베버 상수를 이용하여 감각(자극의 수용정도)량을 S라 하면, 

 

 

자극의 변화를 느끼는 정도는 위와 같이 나타 낼수 있고, 이를 베버의 법칙이라고 한다.

실제 이 k의 값이 오감에서 작은 값을 가지면 그만큼 예민한 변화를 잘 느낀다고 생각할 수 있다.

k의 값이 큰 사람들은 자극의 변화를 느끼기 위해서 큰 변화량이 필요하고 우리는 둔감하다라고 표현한다.

 

③ 베버 페히너의 법칙

이후로는 간단하다. 위의 식을 적분하면,

 

실제 감각량의 정도 S가 I에 비려하는 것이 아니라 log I로 나타나는 로그함수의 꼴임을 알 수 있다.

 

④ 베버 페히너 법칙의 활용

실제 많은 상황에서 우리는 이 법칙을 무의식적으로 생각한다.

아이스크림 1+1을 하는 경우 5000원에 이득이 있다면 10분 거리의 다른 마트를 가기도 하나,

100만원짜리 노트북을 사는 경우 5000원의 두배인 10000원 할인해 주는 10분 거리의 매장이 있을 경우 굳이 이동하지 않는다.

가장 전통적이고 대표적인 것은 음악이다.

'라'음이 440Hz의 진동수를 가지고 1옥타브 위의 진동수가 880Hz라 합시다. 그러면 다음 옥타브의 진동수는 1320Hz가 아니다. 1760Hz가 됩니다.

진동수가 정확하게 2배가 됩니다.

조명의 밝기에서도 마찬가지 입니다. 어떤 방에 똑같은 전구 2개를 켜 놓았다고 할 때, 새로운 전구 1개를 추가하면, 방의 밝기 차이는 늘어날 것입니다.

그러나 10개의 전구가 동일한 방에 켜져 있다면, 전구를 추가 한다고 해서 그 밝기 차이가 눈에 띄지는 않을 것입니다.

 

⑤ 생명과학 속 베버 페히너 법칙

우리 몸에는 수 많은 감각 기관이 있다.

그 중 대표적인 것이 뉴런이다.

뉴런은 역치 이상의 자극이 들어 왔을 때, 이를 전달한다.

아래의 예는 설명을 위해 임의로 만들어 놓은 예제 입니다.

만약 정사각형 모양의  25개의 역치 2인 뉴런이 감각을 수용해서 전달하고 있다고 합시다. 

이 때, 3행 4열에 위치를 중심으로 5만큼의 자극이 들어왔다고 생각해 보겠습니다. 5/25=0.2 이므로 대부분의 뉴런은 자극을 느끼지 못할 것입니다.

21개의 뉴런에는 0의 자극이, 3개의 뉴런에는 1의 자극, 1개의 뉴런에는 2의 자극이 들어 왔다고 생각해 보겠습니다. 

그럼 실제 감각을 느끼는 값은 2의 자극이 들어온 하나의 뉴런이면 이를 감각량 S=1이라고 합니다.

로그로 표현하면 자극을 I=5 라 하면 아래와 같은 로그 식이 성립합니다.

 

라고 하면 

이 성립합니다.

이제 같은 위치를 중심으로 25의 자극이 들어 왔다고 생각해 보겠습니다. 자극만으로 비교하면 5배의 자극이 들어온 것이죠.

그렇다면 자극을 느낀 감각량도 다섯배가 될까요?

25/25 = 1 이므로, 각 뉴런은 평균적으로 1의 자극을 받을 것입니나.

위와 마찬가지로 1의 자극을 받은 뉴런이 21개, 평균 1을 중심으로 2만큼의 자극, 0만큼의 자극을 받은 뉴런들이 2개 씩 있다고 생각해 보겠습니다.

위의 그림을 보면 역치 값2를 넘긴 자극은 2개 입니다. 우리는 2만큼의 감각을 느낄 것입니다.

위에 로그 식에 대입해 보면

가 성립할 것입니다.

 

⑥ 사회학, 심리학 속 수학(베버 페히너 법칙)

어떤 사회문제 A가 발생 했을 때, 어떤 사람은 해당 문제를 긍정적으로 받아 들이고 수용하는 사람이 있는 반면 또 다른 사람은 무신경 할 것이며, 어떤 사람은 해당 문제 A를 부정적으로 바라 볼 것이다.

또한 부정적으로 바라보는 사람 또는 긍정적으로 받아들이는 사람도  그 정도가 다들 것이다. 이때 해당 문제를 위의 생명과학의 예제의 자극이라 생각하고 역치를 해당 문제로 인해 실제적인 이익 또는 손해를 보고 행동하는 사람의 수라고 생각해 보면 이 관계로 베버 페히너의 법칙으로 설명이 가능할 것이다.

물론 로그의 밑이나 베버 상수를 어떻게 결정할 것인가에 대한 통계적인 문제 대한 고민은 필요할 것이다.

 

우리의 인지 감각은 아득히 큰 수, 값에 대해서 뭉뚱그려서 생각하는 특징이 있습니다. 어떤 원주민 부족은 1,2,3 이후는 크다 또는 많다로만 측정하는 부족이 있다고도 합니다.

우리의 인지구조는 이러한 큰 값을 막연하게 인지하여 뇌의 효율을 높이는 것일지도 모릅니다. 우리가 10cm과 100cm를 인지하는 값의 차이만큰 10조km와 100조km의 차이를 명확하게 인지한다면 뇌는 큰 값을 처리하며 낮은 효율, 혹은 인지적 과부하가 올지도 모릅니다.

어마어마하게 큰 차이라는 것을 아는 것으로 족한 것을 정확한 정도를 측정하려 죄를 사용할 필요가 없다는 것이지요.

이는 일상 생활속에서도 많이 보입니다. 사람들은 실제 자신과 밀접한 관련이 있는 것은 작은 일이라도 크게 받아들이며, 자신과의 상대적 거리가 멀고 관계가 없는 일은 아무리 무섭고 큰일 이더라고 무감각하게 받아들이기도 합니다. 

위 그래프는 y=log x로그함수의 그래프 입니다.

x가 실제 사건과 본인의 관계거리, y가 해당 문제에 대한 감각량이라 하면

x가 가까워 본인과 밀접하게 관련이 있다면 작은 변화에도 민감하게 파악하지만 본인과의 거리가 멀면 실제로는 엄청 큰 사건이라고 하더라도 큰 변화를 느끼지 못할 수도 있다는 이야기 입니다.

또 다르게 생각하면 x가 물건의 가격, y가 행동이 변할 확률이라면, 8000원 짜리 음식을 6000원에 2000원 더 싸게 먹을수 있다면, 기꺼이 식당을 옮기지만 170000원 짜리 코스요리가 165000원 으로 제공하는 식당이 있어 5000원을 더 싸게 먹을수 있다고 해도 사람들은 이동하지 않는다는 말입니다.

이렇듯, 생명과학, 사회학, 심히학 속에서 베버-페히너의 법칙은 다양하게 작용하고 있습니다.

 

https://youtu.be/cHyqjGAME3c

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