가정이 거짓이면 항상 참인 명제(집합을 이용하여 설명)

가정이 거짓이면 항상 참인 명제(집합을 이용하여 설명)

집합론과 논리학을 처음 배우는 사람들에게 가정 헷갈리는 내용 중 하나로

가정이 거짓이면 결론의 참, 거짓이 상관없이 명제는 항상 참이라고 말하는 내용이 있다.

 

그 이유를 살펴보자.

방법은 고등학교 집합과 명제 단원을 이용해서 설명해 주려고 한다.

 

① 조건과 진리집합

 

‘x는 3보다 작다.’

라는 문장이 있다. 해당 조건은 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해진다.

이렇게 미지수의 값에 따라서 참 거짓이 정해지는 문장이나 식을 <조건>이라고 말한다.

 

조건은 알파벳 소문자를 이용하여 나타내고, 일반적으로 p, q, r....부터 시작한다.

 

예를 들어, 전체집합 U={x|x는 자연수}에 대하여 조건,

‘p:x는 3보다 작다.’를 참이 되게하는 x의 값의 집합은 {1, 2}이다.

 

이와 같이 전체집합 U에서 조건을 참으로 만들어 주는

모든 원소의 집합을 <진리집합>이라고 합니다.

 

만약 ‘q:x는 2보타 큰 음의 정수’ 라는 조건이 있다면

q는 x의 값을 만족시키는 수가 존재하지 않고 q는 언제나 거짓이 됩니다.

그리고 q를 만족시키는 원소는 존재하지 않으므로

q의 진리집합 Q는 공집합이 될 것입니다.

 

반대 상황 역시 가정해 보겠습니다.

‘r:x는 –5보다 큰 자연수’

라는 조건이 있다면 전체집합 U가 진리집합 R=U가 될 것입니다.

 

② 진리표

 

이제 진리표를 하나 살펴 보겠습니다.

p	q	p->q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 

‘p이면 q이다.’의 진리표입니다.

 

(경우1 p, q 모두 참)

p가 참이고 q가 참이란 뜻은 가정과 결론이 항상 맞는다.

즉 항상 성립한다는 말입니다.

즉, 진리집합 P=U, 진리집합 Q=U입니다.

‘p이면’ 이라는 말은 P에 속해 있는 원소이면 ‘q이다.’ 즉, Q에 속한다.

라는 말이 됩니다.

 

집합 기호로 보면 P ⊂ Q

 

P=Q=U이므로 당연하게도 성립합니다.

p->q는 참이 됩니다.

 

(경우2 p는 참, q는 거짓)

 

p가 참이고 q가 거짓이란 뜻은

가정은 항상 성립하니 P=U, 결론은 항상 거짓이니 Q=∅입니다.

즉, 진리집합 P=U, 진리집합 Q=∅입니다.

‘p이면’ 이라는 말은 P에 속해 있는 원소이면 ‘q이다.’ 즉, Q에 속한다.

라는 말이 됩니다.

 

P=U ⊄ Q=∅

 

P=U, Q=∅이니 p는 q가 될 수 없습니다. q는 아무것도 가지지 않았기 때문입니다.

그러므로 p -> q는 거짓입니다.

 

③ 가정이 거짓일 경우 명제가 참이 되는 이유

 

이제 가정인 p가 거짓이 되는 경우를 살펴보도록 하겠습니다.

 

(경우2 p는 거짓, q는 참)

가정인 p가 항상 거짓이라는 뜻은 p를 만족시키는 것이 아무 것도 없다라는 뜻입니다.

즉, 우리가 p의 진리집합을 구하면

해당하는 원소가 하나도 없기 때문에 P=∅입니다.

q가 참이라는 뜻은 결론이자 조건인 q가 항상 성립하고 Q=U이라고 할 수 있습니다.

 

P=∅ ⊂ Q=U

 

공집합이 전체집합에 부분집합이 된다는 것을 보여주는 것입니다.

그러므로 p->q는 참이 됩니다.

 

(경우2 p는 거짓, q도 거짓)

p와 q가 모두 거짓이면 조건 p, q를 만족시키는 값은 존재하지 않는다.

둘의 진리 집합을 구하면 P=Q=∅이 된다.

∅⊂∅이므로 p에 속한 것은 q에도 속한다고 말할 수 있다.

 

그러므로 참인 명제가 된다.

 

아마도 공집합의 속한 것들 중 이라는 표현이 받아들이는데 어려움으로 작용하는 것 같다.

아무것도 아닌 것에서 원소흫 뽑으면 이라는 말은 언어적으로는 문제가 되나

논리나 집합에서는 공집합이 모든 집합의 부분집합으로 사용하기 때문에

자명한 명제이다.

 

④ 예제

 

사실 일상 언어에서도 많이 사용되는 표현이다.

비록 좋은 않은 상황에서 상대방을 무시하고나 상대방의 논리나 입장을 무시하는 용도로 사용된다.

 

예를 들어

‘네가 만약 성공하면 내가 네 동생이다.’

p:너의 성공, q는 나는 네 동생

으로 분석할 수 있다.

 

말하는 사람 입장에서 살펴보자. 그는 상대방이 성공할 리 없다고 생각한다.

p가 거짓이므로 위 명제는 말하는 사람 입장에서 완벽하게 참인 명제로 사용하는 것이다.

 

가정이 거짓이면 결론이 참, 거짓이 무관하게 항상 참인 명제가 되는 상황을 살펴 보았다.