<대당 사각형의 이해>
[약어를 사용]
전칭긍정명제(A)
전칭부정명제(E)
특칭긍정명제(I)
특칭부정명제(O)
[대당사각형]
전칭긍정 전칭부정
특칭긍정 특칭 부정
① 모순 대당
: 두 명제가 동시에 참, 거짓이 될 수 없는 관계이다.
예를 들어 (A)와 (O)를 살펴보자.
전칭 긍정 명제 (A)로
‘모든 소금은 짜다.’
라는 전칭 긍정 명제가 있다. 그렇다면 특칭 부정 명제 (O)는
‘어떤 소금은 짜지 않다.’
이다. (A)는 참이고 (O)는 거짓이다. 반대로 특칭 긍정 명제 (O)가 참인 경우를 살펴 보자.
‘어떤 삼각형은 세 변의 길이가 같다.’
라는 명제가 있다. 전칭 긍정 명제 (A)로 생각하면
‘모든 삼각형은 세 변의 길이가 다르다.‘
이다. (O)는 참이지만 (A)는 거짓이다.
이제 전칭 부정 명제 (E)와 특칭 긍정 명제(I)를 살펴 보다.
’모든 사각형은 변이 네 개 이다.‘
라는 (E)명제가 있다. 이 명제를 (I)로 생각하면
’어떤 사격형은 변이 네 개가 아니다.‘
라고 쓸 수 있다. 당연히 (E)는 참이고 (I)는 거짓이다.
반대의 경우를 살펴 보도록 하겠다.
특칭 긍정 명제(I)를
’어떤 자연수는 10보다 크다.‘
라고 하자. 그렇다면 이 정언 명제의 (E)는
’모든 자연수는 10보다 크지 않다.’
이다. 손 쉽게 거짓인 것을 파악 할 수 있다.
간단히 생각해 보면 전체가 참인데 특별한 하나만 거짓인 것이 불가능 하고 반대로 특별한 하나가 참인데 전체가 거짓인 것도 불가능 하다.
이처럼 참 거짓이 절대 같아 질 수 없는 명제 관계를 모순 대당이라 한다.
② 반대대당
: 동시에 참일 수는 없으나 동시에 거짓일 수는 있는 관계
전칭 긍정 명제(A)와 전칭 부정 명제(E) 사이의 관계이다.
‘모든 삼각형은 세 내각의 합이 180도이다.’
라는 명제가 있다고 하자. 그렇다면 전칭 부정 명제(E)는
‘모든 삼각형은 세 내각의 합이 180도가 아니다.’
라는 명제이다. (A)는 참이고 (E)는 거짓이다. (E)가 참이 되는 경우를 상정하면 당연하게 (A)는 거짓이 된다.
또한 둘 다 동시에 거짓이 될 수도 있다.
‘모든 삼각형은 세 변의 길이가 같다.’
라는 전칭 긍정 명제(A)가 있다. 전칭 부정 명제(E)의 경우
‘모든 삼각형은 세 변의 길이가 다르다.’
라고 표현 할 수 있고, 둘 다 거짓인 명제이다.
③ 소반대대당
: 동시에 거짓일 수는 없으나 동시에 참일 수는 있는 관계
특칭 긍정 명제(I)와 특칭 부정 명제(O) 사이의 관계이다.
‘어떤 자동차는 바퀴가 네 개이다.’
라는 명제가 있다고 하자. 그렇다면 특칭 부정 명제(O)는
‘어떤 자동차는 바퀴가 네 개가 아니다.’
라는 명제이다. (I), (O)는 둘 모두 참이다.
(I)가 거짓이 되는 경우를 상정하면 당연하게 (O)는 참이 된다.
‘어떤 삼각형은 세 변의 길이가 같다.’
라는 특칭 긍정 명제(I)가 있다. 특칭 부정 명제(O)의 경우
‘어떤 삼각형은 세 변의 길이가 다르다.’
라고 표현 할 수 있고, 하나가 거짓인 것이 확장 되면 다른 하나는 참다.
④ 대소대당
: (A)와(I), (E)와 (O)사이에 해당하는 관계이다. 긍정, 부정은 일치하고 전체와 일부 사이의 관계라고 생각하면 된다.
벤다이어그램을 이용하여 설명하면 더 이해가 쉽다.
(A)가 참인 경우 전체가 참인 것으로 밝혀져 있으면 전체에 속해 있는 일부인 (I)가 참인 것은 자명하다.
마찬가지로 (E)가 참인 경우 전체가 참인 것으로 밝혀져 있으면 전체에 속해 있는 일부인 (O)가 참인 것은 자명하다.
즉 대소대당 관계에서 위에 것이 참이면 아래의 일부는 자명하게 참으로 판명난다.
그러나 위의 내용이 거짓이라 하더라도 일부인 아래의 특칭 명제들이 거짓인지는 알 수 없다.
단 반대로 일부인 특칭 명제 (I)와 (O)가 거짓으로 판명나면 그에 대응하는 전칭 명제 들인 (A), (E)역시 거짓으로 볼수 있다. 반례 하나만 있어도 거짓으로 판별하는 원리와 같다.